（Ⅰ）求灯柱的高h（用q表示）；
（Ⅱ）若灯柱AB与灯杆BC单位长度的造价相同，问当q为多少时，灯柱AB与灯杆BC的总造价最低？
ABCD 21．（本小题满分13分）
图7
3已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，且经过点P(4,1). （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l:y=1与椭圆的另一个交点为Q，A、B是椭圆C上位于直线l两侧的动点，且满足直线AP与BP关于l对称.试探究直线AB的斜率是否为定值，请说明理由，并求出四边形APBQ面积的最大值.
- 6 -
y A Q O B 图8
P x
22．（本小题满分13分）
2已知函数f(x)=2lnx-x-ax.
1[,+ )（Ⅰ）当a…3时，讨论函数y=f(x)在2上的单调性；
￠（Ⅱ）如果x1，x2(x1 x1+2x23f￠()<0证明： . 2013年常德市高三年级模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1． B 2． A 3． A 4． B 5． D 6． C 7． D 8．B 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．4 {x|x<3}10． 42 11． （二）必做题（12?16题） 312．m38 13．2 1-2p 14． 15．3+22 - 7 - 16．（1）7,9,11 中任一个 （2）{6,10,11,12} 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分 ∴这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分 （Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3）?40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆. 记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A， 车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B， P(A)+P(B)=C8鬃C12C20321+C8C12C20312=8641140=7295则 .………………………8分 （Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x，则x的可能取值为1,2,3. P(x=1)=C2×C4C61321=4201220420=153515，…………………………………………………9分 P(x=2)=C2×C4C6032==，…………………………………………………10分 P(x=3)=C2×C4C633==，…………………………………………………11分 2 35 故分布列为 x 1 15 3 15 P ?车速在[75,80)的车辆数的数学期望为 Ex=1?152?353?152.………12分 18．（本小题满分12分） 解法一： （Ⅰ）已知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点， B1 - 8 - B C1 D E C ?BA=BC1,\\BD^AC1………2分 ?平面ABC1^平面AA1C1C， 且BDì平面ABC1， 平面ABC1?平面AA1C1C=AC1 ?BD^平面AA1C1C.………………5分 （Ⅱ）?平面ABC1^平面AA1C1C ，CA1^AC1, \\CD^平面ABC1…………6分 作DE^AB，垂足是E，连结CE， 则DDEC为二面角C1-AB-C的平面角.……………………………………8分 在直角DDAB中，AD=1,BD=\\DE=AD×DBAB=32，DECECE=3,AB=2 ………………………………9分 DE+DC22=152…………………………11分 5cos?DEC=5于是， 5.即二面角C1-AB-C的余弦值是5. ………12分 （Ⅱ）解法二如图，以D为原点,以DA,DB,DC所在直线分别为x轴, z轴，y轴建立空间直角坐标系. 由已知可得AC1=2,AD=1,BD=A1D=DC=3,BC=6 ……………6分 ?D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,0,3),C1(-1,0,0),C(0,3,0)……………………z 7分 设平面ABC的一个法向量是 ??m=(x,y,z) 1 B B ????????AB=(-1,0,3),BC=(0,3,3)??????AB?m由 ??????0,且BC?m0 C1 D A1 A x C y ì?-x+3z=0?í???3y+3z=0m=(3,-1,1)??得?，可得 …………………8分 ?平面ABC1^平面AA1C1C ， - 9 - CA1^AC1,\\CD^平面ABC1 ????DC=(0,1,0)ABC1的一个法向量是∴DC是平面， ……………………10分 ??????\\cos 5即二面角C1-AB-C的余弦值是5.…………………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知及 an=Sn-Sn-122可得 an-an-1=4(an+an-1) ?an>0 ∴an-an-1=4 a1=S1=(a1+2)82 …………………………………2分 又 ?a12 ∴an=4n-2. ………………………3分 6∵数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1b3=36?b2b1+b2+b3=26?6q6+6q=26?3q2.…4分 设公比为，则 q= 1 3（舍）. n-2q10q+3=0， 解得：q=3或∴ bn=b2qn-2=6篡3bn=2 3n-1. ……………………………6分 \\cn=4n-22′3n-1（Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=4n-2 ， bn=2 3………7分 又 Tn?c1?c2?c3???cn2?130n-1 =2n-13n-1. . 1+2?332所以： ?3TnTn=1+2?2311+2?4331+?+2n-13n-1 …………① 2?13-11+2?2301+2?33111+2?4321+?+2n-13n-2 …………② 由②—①得： - 10 - ?2Tn2?13-1+230+231+232+?+23n-2-2n-13n-1 ………9分