?????BP?n?2315 cos?????. ?????525BP?n 所以二面角P?AG?B的平面角的余弦值
19．（本小题满分14分）
(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力)
15. ????14分 52a22x2?x?a解: （1）∵f??x??2x?， ?2x?12x?1∵f?x? 在x??????1?,1? 上是减函数， ?2??1?,1?恒成立. ????2??∴ f??x??0在x???2分
又∵ 当x????1?,1? 时，2x?1?0， 2??2∴不等式 2x?x?a?0在x????1?,1?时恒成立， ?2?即 a?2x?x 在x???分
2?1?,1?时恒成立， ????4?2?设 g?x??2x?x，x???2?1?,1?，则 ?2?g?x?max?g?1??3，
∴ a?3. ????6分
22x2?x?a（2）∵f??x??，
2x?1 令 f??x??0 ，解得: x1?由于a?0， ∴(?)?x1?∴x1??①当x2????1?1?8a?1?1?8a, x2?,
44121?8a?111?8a?1?0， ?0，x2?(?)?24411, x2?? ， ????8分
22?1?1?8a?1??1即0?a?3 时,在??,x2?上f??x??0；在?x2,1?上
4?2?f??x??0，
∴当x??1?1?8a?1?时，函数f?x?在??,1?上取最小值. ??11分
4?2??1?1?8a?1??1即a?3 时,在??,1?上f??x??0，
4?2??1?,1?上取最小值. 2???1?1?8a时取最小值;当a?3 时,
4时
取
最
小
② 当x2?∴当x?1时，函数f?x?在??由①②可知，当0?a?3 时,函数f?x?在x?函
数
f?x?在
x?1值. ????14分
20．（本小题满分14分）
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
x2y2解：（1）设椭圆E的方程为 2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.
ab由已知条件，得F(0,1)，
?b?1?3?c∴??
2?a?a2?b2?c2? 解得 所
a?2,b?1.
以
椭
圆
E的方程为：
x2?y2?1. ????4分 4（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意， 故可设直线l的方程为 y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)， 由??y?kx?1?x?4y2
消去y并整理得 x?4kx?4?0， ∴
2x1x2??4 . ????
5分
∵抛物线C的方程为y?121x，求导得y??x， 42∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是
11x1(x?x1)， y?y2?x2(x?x2)， 22112112即 y?x1x?x1 ， y?x2x?x2，
2424 y?y1?解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(x1?x2x1x2x?x2,)，即M(1,?1)，??7分 242?????????x?x1212122∴FM?AB?(1,?2)?(x2?x1,y2?y1)?(x2?x12)?2(x2?x1)?0
2244∴AB?MF. ????9分 （3）假设存在点M?满足题意，由（2）知点M?必在直线y??1上，又直线y??1与椭圆E有唯一交点，故M?的坐标为M?(0,?1)，
设过点M?且与抛物线C相切的切线方程为：y?y0?令x?0,y??1得，?1?1x0(x?x0)，其中点(x0,y0)为切点. 2121x0?x0(0?x0)， 42 解得x0?2或x0??2 ， ????11分
故不妨取A?(?2,1),B?(2,1)，即直线A?B?过点F.
综上所述，椭圆E上存在一点M?(0,?1)，经过点M?作抛物线C的两条切线M?A?、M?B?（A?、B?为切点），能使直线A?B?过点F.
此时，两切线的方程分别为y??x?1和y?x?1. ????
12分
抛物线C与切线M?A?、M?B?所围成图形的面积为
2?111?S?2??x2?(x?1)?dx?2(x3?x2?x)04122??20?4 . ????314分
21．（本小题满分14分）
(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)
解: （1）∵an是Sn和2的等差中项，
∴Sn?2?2an， ① ????1分 当n?1时，S1?2?2a1，解得a1?2. 当n?N,n?2时，
*Sn?1?2?2an?1 ?n?N*,n?2?. ②
①－② 得 Sn?Sn?1?2an?2an?1 n?N,n?2，
∴ an?2an?2an?1， ∴ an?2an?1， ∴
?*?an?2 ?n?N*,n?2?. an?1∴ 数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ an?2 n?N分
（2）由ai和aj的所有可能乘积ai?aj?2i?jn?*? . ????5?1?i?j?n?可构成下表：
21?1，21?2，21?3，?，2 22?2，22?3，?，2 23?3，?，21??n?1?，21?n ，22?n ，23?n
2??n?1?3??n?1? ??????
2n?n ????7分
构造如下n行n列的数表：
21?1，21?2，21?3，?，21??n?1?，21?n ，22?n
22?1，22?2，22?3，?，223?1，23?2，23?3，?，22??n?1?3??n?1?，23?n
??????
2n?1，2n?2，2n?3，? ，2设上表第一行的和为T，则 T?n4?1?2?n??n?1?，2n?n
1?2?4?2n?1?.
2n?1于是 2Tn?T1?2?2???2????22?24???22n?
?42?1?2?1? ??n??n?22?4n?1?4?1
4n2?1???2n?2?2?. ?34nn?1∴ Tn??2?1. ????10分 ??2??1?34nn?1(3)∵Tn??2?1???2?1?，
32n3?2n3?11????∴??， ????12分 Tn4?2n?1???2n?1?1?4?2n?12n?1?1?2222n????∴M? T1T2Tn
?3??11??11??11?1???1??????????1??2??3??n?? ?234n?14??2?12?1??2?12?1??2?12?1??3?4??1?1?2n?1?1??. ∵2n?1?1?3，
∴
12?3?4??1?1?32n?1?1???4. 即
12?M?34.
?2?12?1??????14分