江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（六）解析
高等数学
注意事项：
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列各极限正确的是（ ）
1xA、lim(1?)?e
x?0xC、limxsinx??1B、lim(1?)x?e
x??x1
11?1 D、limxsin?1
x?0xx2、已知当x?0时，x2ln(1?x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1?cosx的高阶无穷小，则正整数n? （ ） A、1
B、2
C、3
D、4
3、若f(x)?f(?x)，且在?0,???内f?(x)?0、f??(x)?0，则在(??,0)内必有（ ）
''A、f?(x)?0,f(x)?0
''B、f?(x)?0,f(x)?0
C、f?(x)?0,f??(x)?0 D、f?(x)?0,f??(x)?0
x2?44、曲线y?2的渐近线共有（ ）
x?5x?6A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条 5、设f(x)有连续的导函数，且a?0、1，则下列命题正确的是（ ） A、
??f?(ax)dx?1f(ax)?C B、?f?(ax)dx?f(ax)?C aC、(f?(ax)dx)??af(ax) D、6、下列级数条件收敛的是 （ ）
?f?(ax)dx??f(x)?C
2nA、?2
n?1n?B、
?n?1?n n?11?(?1)nC、?
nn?1D、
?n?1?(?1)nn
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、已知f?(0)?2，则limh?0f(h)?f(?h)?
h8、已知曲线y?2x3?3x2?4x?5，则其拐点为 9、设函数?(x)?1te?2costdt，则函数?(x)的导数??(x)? x2xtan2x2?1?x)dx? 10、?(?11?x211、交换积分次序
?20dx?f(x,y)dy?
x2x??12、如果a??3,?,?2?,b???,2,?1?，且a?b，则??____________
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、求f(x)?(x?1)sinx的间断点，并说明其类型。
x(x2?1)?x?ln(1?t2)dyd2y?2,2。 14、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，求tudxdxdu?y??021?u?15、计算不定积分?lnxxdx 。
?x?2?t?16、求通过点(1,1,1)，且与直线?y?3?2t垂直，又与平面2x?z?5?0平行的直线方程。
?z?5?3t??12?x?1,x?017、设f(x)??，求?f?x?1?dx。
01?,x?0?1?exx218、把函数f(x)?展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间。 22?x?x19、计算二重积分
2222D(1?x?y)dxdy，其中是第一象限内由圆x?y?2x及直线??Dy?0所围成的区域。
?zx?2z20、设z?f(x,)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求、。
?x?x?yy2四、证明题（每小题9分，共18分）
21、设f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f?(x)且f(0)?0；试证明： 对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a、b有f(a)?f(b)?f(a?b) 22、证明：
??0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx，并利用此式求?x0?sinxdx。 21?cosx
五、综合题（每小题10分，共20分）
23、由直线y?0,x?8及抛物线y?x2围成一个曲边三角形，在曲边y?x2上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y?0,x?8的围成的三角形面积最大。
24、设y?y(x)满足方程y???3y??2y?2ex，且其图形在点(0,1)与曲线y?x2?x?1相切，求函数y(x)。
江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（六）
高等数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列各极限正确的是（ ）
1xA、lim(1?)?e
x?0xC、limxsinx??1B、lim(1?)x?e
x??x1
11?1 D、limxsin?1
x?0xx解析：求极限时，先判断极限类型，本题考查两个重要极限 （1）limsin?sin?sinx1?1或lim?0；易知lim?1?limxsin
??0?????x?0x??xx111?1x（2）lim(1?)?e或lim(1??)??e；易知lim(1?)?e?lim(1?x)x
??0???x??x?0?x故本题答案选C
22、已知当x?0时，xln(1?x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1?cosx的高阶
无穷小，则正整数n? （ ） A、1
B、2
C、3
D、4
解析：在变量的某个变化过程中，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，我们关心它趋于零的速度。其速度是用“阶”来衡量的。 若limf(x)?limg(x)?0（同一极限过程）
limf(x)?0，称f(x)是g(x)的高阶无穷小量； g(x)f(x)??，称f(x)是g(x)的低阶无穷小量； g(x)f(x)?C(?0,?)，称f(x)与g(x)是同阶阶无穷小量；当C?1时，称两者为等价无g(x)limlim穷小量。记住九个常用的等价无穷小量。 当x?0时，
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，ex?1~x，ln(1?x)~x，
12x，(1?x)a?1~ax。 2当然，上述x?0理解成??0，替换原则：乘除可换，加减忌换。（分子分母整体替换）
ax?1~xlna，1?cosx~x2ln(1?x2)x4?limn?0，得n?4； 本题条件：limnx?0x?0xsinxsinnxxnlim?lim?0，得n?2； x?01?cosxx?012x2故本题答案选C
3、若f(x)?f(?x)，且在?0,???内f?(x)?0、f??(x)?0，则在(??,0)内必有（ ） A、f?(x)?0,f??(x)?0 C、f?(x)?0,f??(x)?0
B、f?(x)?0,f??(x)?0 D、f?(x)?0,f??(x)?0
解析：该题考察可导的奇偶函数的导数性质。f(x)可导，
若f(x)为奇函数，则f?(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f?(x)为奇函数。（其逆不全成立，）因为偶函数的原函数相差常数C，当C?0时非奇非偶。故本题答案选C 另外，可导的周期函数，其导函数仍然是周期函数且周期不变。（这些性质用复合函数求导法则比较容易得到）
x2?44、曲线y?2的渐近线共有（ ）
x?5x?6A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条 解析：渐近线有三种，水平，铅直和斜渐近线
f(x)?A，表明y?f(x)有水平渐近线y?A 若limx??limf(x)??，表明y?f(x)有铅直渐近线x?x0 若x?x0若limx??f(x)?k存在，且lim[f(x)?kx]?b表明y?f(x)有斜渐近线y?kx?b
x??xx2?4(x?2)(x?2)y?f(x)??因为
x2?5x?6(x?2)(x?3)limf(x)?1， 从而y?1是水平渐近线；
x??limf(x)??，从而x?3是铅直渐近线；
x?3limf(x)??1，从而x?2不是渐进线；
x?2因为limx??f(x)?0，从而没有斜渐近线。 x该题有两条渐近线 故本题答案选B
5、设f(x)有连续的导函数，且a?0、1，则下列命题正确的是（ ） A、
??f?(ax)dx?1f(ax)?C B、?f?(ax)dx?f(ax)?C aC、(f?(ax)dx)??af(ax) D、
?f?(ax)dx?f(x)?C
解析：该题考查原函数与不定积分的基本概念，凑微分法。
如果F?(x)?f(x)，称F(x)为f(x)的一个原函数，不同的原函数之间只会相差常数C。不定积分就是找那些导数为f(x)的所有函数全体（只相差任意常数C），不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。
df(x)dx?f(x)。于是，有性质f?(x)dx?f(x)?C；dx
???
f?(ax)dx?11?f(ax)d(ax)?f(ax)?C，故本题答案选A a?a6、下列级数条件收敛的是（ ）