?????平面2x?z?5?0的法向量n??2,0,?1?，由题意知s?s1，s?n，
?故所求直线方向向量s可取
???ijk???????s?s1?n?123??2i?7j?4k???2,7,?4?
20?1所求直线方程为
x?1y?1z?1??。 ?27?4?12?x?1,x?017、设f(x)??，求?f?x?1?dx
01?,x?0?1?ex解析：定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设
?f(x)dx?F(x)?C，则
? b af(x)dx?F(b)?F(a)?F(x)ba。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于
第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：
? b af(x)dx??1t??x??(t)?1(x)?(a)???1(b)f(?(t))???t?dt。
本题被积函数为分段函数，先用定积分换元法，然后在每个小区间积分相加。 令t?x?1，则x?2时t?1，x?0时，t??1， 所以
?20111f?x?1?dx??dx??dx?1?ln(1?e?1)?ln(e?1) x?11?e01?x0x218、把函数f(x)?展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间.
2?x?x2解析：有关幂级数展开方法，已在试卷（一）详细论述，不再赘述。
x211x21x21f(x)?(?)????
x31?x32?x1?x61?2x2?3
?(?1)n?n??n?1?1?x，收敛域为?1?x?1。 n?0?2??19、计算二重积分
2222D(1?x?y)dxdy，其中是第一象限内由圆x?y?2x及直线??Dy?0所围成的区域.
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。 首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如f(x2?y2)，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。
??0????本题首先画出积分区域图，区域半圆形，采用极坐标计算。D:?2；
??0?r?2cos????(1?x?y)dxdy??2d??D0222cos?0(1?r)rdr
81?82?16??2(2cos2??cos3?)?2??????03223329?zx?2z20、设z?f(x,)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求、。
?xy?x?y2?解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。
第一步：变量x,y,z的关系网络图
???1?z???2??xyxy
其中1，2分别表示x,2x y第二步：寻找与x对应的路径???，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”
?z1?2z2x2x1???3f22???2f2?。 ?f1??2x?f2??， ??2f12?xy?x?yyyy
四、证明题（每小题9分，共18分）
21、设f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f?(x)且f(0)?0；试证明： 对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a、b有f(a)?f(b)?f(a?b)。
解析：不等式证明方法有很多，当出现与函数差值有关的带有导数的表达式可以考虑用由拉格朗日定理证明。由题意
f(a?b)?f(b)?f?(?1) (b??1?a?b)，
af(a)?f(0)?f?(?2) (b??2?a)
a由于f?(x)在(0,c)上严格单调递减，知f?(?1)?f?(?2)，因f(0)?0，故
f(a)?f(b)?f(a?b)。
22、证明：
解析：有关定积分的抽象恒等式的证明，一般采用换元法，难点是如何做出代换，优先考虑函数结构形式的对应，兼顾积分的上下限。 令t???x，
??0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx，并利用此式求?x0?sinxdx. 21?cosx??0xf(sinx)dx???(??t)f(sin(??t)dt??(??t)f(sint)dt
?00????f(sinx)dx??xf(sinx)dx
00??故
???0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx，证毕.
?0sinx??sinx??2?xdx??dx??arctan(cosx)0?
201?cos2x241?cos2x
五、综合题（每小题10分，共20分）
2223、由直线y?0,x?8及抛物线y?x围成一个曲边三角形，在曲边y?x上求一点，使
曲线在该点处的切线与直线y?0,x?8的围成的三角形面积最大。
解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。
首先画出图形，如图，设所求切点为P(x0,y0)切线PT交x轴于A,交直线x?8于B， 切线PT的方程为y?y0?2x0(x?x0),又P点在y?x上，因此，y0?x0， 令y?0得，x?22x1x0,A点坐标为A(0,0)， 222令x?8得，y?16x0?x0,
2B点的坐标为(8,16x0?x0)，
y B T 于是三角形ABC的面积为
P o A(x0,0) 2C(8,0) x S?ABC?令S'?112(8?x0)(16x0?x0),0?x0?8 221(3x02?64x0?162)?0, 416,16(舍去）得：x0?, 316164096因为S''()??8?0，所以 S()?为最大值，
3327409616故S()?为所有三角形中面积之最大值。
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24、设y?y(x)满足方程y???3y??2y?2ex，且其图形在点(0,1)与曲线y?x2?x?1相切，求函数y(x)。
解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。该类方程几乎每年必考，现将求解方法细述如下：
（1）齐次方程y???py??qy?0，其中p,q为常数。
求解步骤：1）特征方程 ?2?p??q?0，求根?1,?2。 2）?1,?2 互异实根，y?c1e ?1??2，y?c1e?1x?1x?c2e?2x，
?c2xe?2x；
?1,2???i?(??0)，y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)。
（2）非齐次方程y???py??qy?f(x)，通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y?。 第一种：f(x)?ePm?x?，其中Pm?x?表示m次多项式。
?x解结构：y?齐次方程通解y特解y?形式设定如下： （1）识别?,m；
?特解y?。
（2）考查?作为特征根的重数个数k； （3）特解可设为y??x??xeQm?x?，
k?x?0,?不是特征根；??是单根；其中Qm?x?表示m次多项式。k??1,
?2,?是二重根；?第二种：f(x)?e?x?P?x?cos??x??P?x?sin??x??，
mn其中Pm?x?，Pn?x?表示m,n次多项式。 解结构：y?齐次方程通解y特解y?形式设定如下： （1）识别?,?,m,n；
（2）计算????i?，k??和特征根?1,?2相等个数，l?max?m,n?。 （3）特解可设为y??x??xek?x?特解y?。
??x?sin??x??，
?Q?x?cos??x??Qll其中Ql?x?,Ql?x?为l次多项式。
??0，??i?不是特征根；其中k?? 1，??i?是特征根；?本题特征方程?2?3??2?0??1?1,?2?2,对应齐次方程的通解为
y?C1ex?C2e2x
设特解为y*?Axex，其中A为待定常数，代入方程，
得A??2?y*??2xex
从而得通解y?C1ex?C2e2x?2xex 由条件知y?y(x)满足y(0)?1,y?(0)??1，由此得C1?1,C2?0
最后得y(x)?(1?2x)ex。