2nA、?2
n?1n?B、
?n?1?n n?11?(?1)nC、?
nn?1??D、
?n?1?(?1)nn
解析：该题考察级数的收敛性质、必要条件，级数审敛法，条件收敛与绝对收敛。 记住?解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的，（交错）P?级数等。收敛，p?1时发散。
1:当p?1时pnn?1(?1)n交错?p:当p?1时绝对收敛，0?p?1时条件收敛，p?0时发散。
n?1n?
B选项显然发散，因为limn???n?1，破坏级数收敛的必要条件。 n?1记住
1:当p?1时收敛，p?1时发散。 ?pn?1nn?a?a 绝对收敛?条件收敛??ann收敛。原级数绝对收敛必收敛。
n?a发散，而
?an收敛
研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若加绝对值发散则研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数交错级数的莱伯尼兹判别法：对于级数
n。 ?(?1)an（an?0）
n
n?(?1)a若 （1）an?0，即级数是交错的，（2）an单调下降，（3）liman?0
n??则
???1?n?1?nan收敛。 于是记住:
(?1)n交错?p:当p?1时绝对收敛，0?p?1时条件收敛，p?0时发散。
n?1n?故本题答案选D (注：A选项显然绝对收敛，C选项发散)
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 7、已知f?(0)?2，则limh?0f(h)?f(?h)?
h解析：该题考察导数定义
f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?f(x)?lim0或； h?0hh式子当中的h应当理解为中间变量，看成文字。 于是limh?0f(x0?mh)?f(x0?nh)?(m?n)f?(x0)h
limh?0f(h)?f(?h)?2f?(0)?4。
h
8、已知曲线y?2x3?3x2?4x?5，则其拐点为 解析： 曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f??(x)?0的点或f??(x)不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。令y???12x?6?0，得x?又x?113，此时y?。 2211?113?时，y???12x?6?0；x?时，y???12x?6?0。故拐点为?,?。 22?22?te?2costdt，则函数?(x)的导数??(x)? x29、设函数?(x)?解析：变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢，在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆
?b(x)a(x)f(t)dt?F(t)b(x)a(x)?F[b(x)]?F[a(x)]
(?b(x)a(x)f(t)dt)??(F[b(x)]?F[a(x)])??f(b(x))b?(x)?f(a(x))a?(x)
2x2变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，于是
??(x)?(?2ecostdt)??(??etcostdt)???2xexcosx2
tx22注意：这种题要弄清楚积分变量t与x之间的关系，用上述公式，须被积函数为“纯t”函数。例1
[?(x?t)f(t)dt]??[?xf(t)dt??tf(t)dt]?000xxx?[x??x0x0f(t)dt]??[?tf(t)dt]?(第一项按乘积求导法则)0x??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt0x
例2：
[?tf(x2?t2)dt]??[?0x?[??102?x21x2222f(x?t)d(x?t)]??021x2 f(u)du]??[?f(u)du]?021f(x2)?(x2)??xf(x2)2上述两例给出化被积函数为“纯t”函数的一般方法：直接分离t与x或通过定积分换元法实现。
xtan2x2?1?x)dx? 10、?(?11?x21解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。
?a?a0,f(x)为奇函数??； f(x)dx??a2f(x)dx,f(x)为偶函数???0xtan2x2??1(1?x2?1?x)dx21xtanx12??dx?1?xdx ??1?11?x21?0??211xtan2x2这里因为函数f(x)?是奇函数，故积分为零，积分1?xdx表示半径为1的上2??11?x半圆的面积。
11、交换积分次序
?20dx?f(x,y)dy? x2x解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。 在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。 积分区域 D:??0?x?2转化为D?D1?D2?x?y?2x?2?y?4?D2:?1y?x?2??22y402y2
?0?y?2?;其中D1:?1y?x?y??2故
2y?20dx?2xxf(x,y)dy??dy?1f(x,y)dx??dy?1f(x,y)dx。
2
??12、如果a??3,?,?2?,b???,2,?1?，且a?b，则??____________
解析：该题考察向量的基本运算——数量积与向量积。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。两向量向量积结果是一个向量。
????a,b,a?b三者方向满足右手规则，
????a?b?a?b?sin?，其中?为两向量的夹角。两向量垂直的充要条件是数量积为0。（平
行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）
??2由条件a?b??3,?,?2????,2,?1??0， 即3??2??2?0 得：???。
5
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、求f(x)?(x?1)sinx的间断点，并说明其类型。 2x(x?1)0limf(x)?f(x0)。实际上包含三个条件 解析：函数f(x)在x0处连续的定义为x?x（1） 函数f(x)在x0处必须有定义； （2） 函数f(x)在x0处的极限存在；
（3） 函数f(x)在x0处的极限值必须等于函数值；
当上述三个条件不全满足时的点即为函数f(x)的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。 根据点x0处的极限情况来加以分类：
??相等：可去间断点左右极限均存在：第一类????不相等：跳跃间断点?若有一个为?：无穷间断点?左右极限至少有一个不存在：第二类????均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点?本题f(x)?(x?1)sinx在x?0、?1处没有定义，所以间断点有三个（x?0也是分段点）
x(x2?1)(x?1)sinx(x?1)sinxsinx1?lim?lim?sin1，
x?1x(x2?1)x?1x(x2?1)x?1x(x?1)2limf(x)?limx?1x?1是第一类可去间断点；
x??1limf(x)?lim(x?1)sinx(x?1)sinx??lim??，
x??1x(x2?1)x??1x(x?1)(x?1)x??1是第二类无穷间断点；
x?0?limf(x)?lim(x?1)sinx(x?1)sinx?lim?1x?0?x(x2?1)x?0?x(x2?1)
x?0?limf(x)?lim(x?1)sinx(x?1)sinx??lim??1x?0?x(x2?1)x?0?x(x2?1)
即函数f(x)在x?0处左右极限均存在但相等，x?0是第一类跳跃间断点。
?x?ln(1?t2)dyd2y?2,2。 14、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，求tudxdxdu?y??021?u?解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记求导公式
2tdy2dytdt1?t ?y????；
dx2tdx2dt21?ttd2yddydx1dx1?t2?()/?/?
4t。 dx2dtdxdt2dt
15、计算不定积分?lnxxdx 。
解析：该题考察不定积分的分部积分，注意u的选择。
当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时，一般采用分部积分法，关键是u的选择，一般按照“反（三角函数）、对（数函数）、幂（函数）、三（角函数）、指（数函数）”的优先顺序选择u，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为v）
?lnxdx?2lnxdx?2?x?lnx?x????1?x?dx??2x?lnx?2??C 。 x?
?x?2?t?16、求通过点(1,1,1)，且与直线?y?3?2t垂直，又与平面2x?z?5?0平行的直线方程。
?z?5?3t??解析：求直线方程，基本方法是使用点向式（对称式）。求出直线上的一个定点和方向向量s。
?x?2?t???直线上的定点(1,1,1)，已知直线?y?3?2t的方向向量s1??1,2,3?；
?z?5?3t?