2017—2018学年度第一学期期末考试
高二理科数学试卷
（答题时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个正．．．．确选项，请将正确选项填到答题卡处
1.设集合A?{x|(x?1)(x?2)?0}, B?{x|1?x?3}，则A?B? A．{x|?1?x?3} B．{x|?1?x?1} C．{x|1?x?2} D．{x|2?x?3}
2.已知抛物线y2＝2px(p?0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为
A．(－1,0) C．(0，－1)
B．(1,0) D．(0,1)
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为
A．12 B．8 C．6 D．4
5．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝10， 则输出的S等于
510A. B. 11113672C. D. 5555
6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
1
A．45 B．50
C．55 D．60
7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A.183 B.153
C.24?83 D.24?163
8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
9．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 91631A. B. C. D. 252510510．设a＝log2π，b?log1?，c＝π－2，则
2A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
11．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定是 A．直角三角形 C．等腰三角形
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交
于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 A.2 B.3 C．2 D．3
2
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
?y?x,?13．设变量x，y满足约束条件?x?2y?2,则z＝x－3y的最小值为
?x??2.? ．
14．已知命题p：?x?0，(x＋1)ex?1，则﹁p为 ． 15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，
若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 ． 16．对于下列表格
x 196 197 200 203 204 y 1 3 6 7 m 所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y＝0.8x－155.
则实数m的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批
该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5 m 频率 0.05 0.15 0.35 n (1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
18．(满分12分)在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
^
1(a－10)n＝22，证明：数列{b
n}为等比数列；
3
19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的
?3(96?x?98),?关系式为y??5(98?x?104),求这批产品平均每个的利润．
?4(104?x?106).?
x2y2
20. (满分12分)已知点M(6，2)在椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)上，
6且椭圆的离心率为.
3(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
21．(满分12分)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝
1
AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
2
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
x22
22. (满分12分)已知椭圆C1的方程为4＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且→·→＞2(其中O为原点)，求k的取值范围. OAOB
4
2017—2018学年度第一学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A B A B C D D C C B 1. A 【解析】A?{x|?1?x?2},B?{x|1?x?3},?A?B?{x|?1?x?3}，选A. 2． B
3． A 【解析】∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，
∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，
4． B 【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
1112
5． A 【解析】第一次执行后，S＝3，i＝4＜10；第二次执行后，S＝3＋15＝5，i＝6＜10；213314
第三次执行后，S＝5＋35＝7，i＝8＜10；第四次执行后，S＝7＋63＝9，i＝10；第五次4155
执行后，S＝9＋99＝11，i＝12＞10，输出S＝11. 6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝15
0.3，所以该班的学生人数是0.3＝50.
7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的
1高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2××4×232=24+83.
8． D 【解析】由已知a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，则(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，由3a·b1此可得a·b＝2.从而cos〈a，b〉＝|a||b|＝4.故答案为D.
9． D 【解析】以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长21度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P＝10＝5.
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