10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1,2)，b＝log1 π＜0，c＝π－
2
2
∈(0,1)，所以a＞c＞b.
a2＋b2－c2
11．C 【解析】根据余弦定理，有a＝2bcosC＝2b·2ab，化简整理得b＝c.所以△ABC为等腰三角形．
x2y2
12． B 【解析】设双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点
2
x2y222c且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x＝c或x＝－c，代入a2－b2＝1得y＝b(a2－1)
b4
＝a2，
b22b22b2
∴y＝±a，故|AB|＝a，依题意a＝4a， c2－a22b2
∴a2＝2，∴a2＝e－1＝2，∴e＝3. 二、填空题 13．－8
【解析】作出可行域如图所示．
可知当x?3y=z经过点A(?2,2)时，z有最小值，此时z的最小值为?2?3×2=－8. 14. ?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1. 15． 40
9011【解析】抽样比为＝9，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×9＝360＋270＋18040. 16. 8
11
【解析】依题意得x＝5×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y＝5×(1＋3＋6＋7＋m)＝17＋m17＋m
200－155，解得m＝8.
5，因为回归直线必经过样本点中心，所以5＝0.8×
6
三、解答题
17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
2
得n＝20＝0.1，所以m＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种．
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”． 则A包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种． 4
故所求概率为P(A)＝10＝0.4.
18．解：(1)设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由a10＝30，a20＝50，
?a1＋9d＝30，?a1＝12，?得方程组解得? ?a1＋19d＝50，?d＝2.所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.
bn＋12n＋1
(2)证明：由(1)得bn＝2，所以b＝2n＝2.
n
n
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nbn＝n×2n，得Tn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， ①－②得，
－Tn＝2＋22＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1. 所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n. ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，
36
∴n＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.
(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋
7
① ②
0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，
1∴这批产品平均每个的利润为120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．
??
620. 解：(1)由已知得?c ＝，a3??a＝b＋c，
2
2
2
2
?a＝12，x2y2解得?2故椭圆C的方程为12＋4＝1.
?b＝4.
62
＋＝1，a2b2(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0). y＝x＋m，??
由?x2y2消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
＋＝1，??124
x1＋x231则x0＝2＝－4m，y0＝x0＋m＝4m， 1??3
即D?－4m，4m?.
??
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
m
2－4
即PD的斜率k＝
3m＝－1，解得m＝2. －3＋4
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝2|x1－x2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32， 3
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
219
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝. 22
21．解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 111
M(1,0，2)，N(2，0,0)，S(1，2，0)． →＝(1，－1，1)，SN→＝(－1，－1，0)， (1)CM
222→·→＝－1＋1＋0＝0，
因为CMSN
22
8
→⊥SN→，所以CM⊥SN. 所以CM
1→
(2)易得NC＝(－2，1,0)，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 1→·
CMn＝x－y＋??2z＝0，则?1→·
NCn＝－??2x＋y＝0，2)．
→|
|n·SN2→
因为|cos〈n，SN〉|＝＝，
→2|n|·|SN|所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.
x2y2
22. 解：(1)设双曲线C2的方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)， 则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. x22
故C2的方程为3－y＝1. x22
(2)将y＝kx＋2代入3－y＝1， 得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
2
?1－3k≠0，? 222
?Δ＝（－62k）＋36（1－3k）＝36（1－k）＞0，
?x＝2y得?，取x＝2，则y＝1，z＝－2，n＝(2,1，－?z＝－2y
1
∴k2≠3且k2＜1.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
62k9
则x1＋x2＝. 2，x1x2＝－1－3k1－3k2∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) 3k2＋7＝(k＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝2. 3k－1
2
→·→＞2，得xx＋yy＞2， 又∵OAOB12123k2＋7－3k2＋9∴2＞2，即2＞0， 3k－13k－11
解得3＜k2＜3.②
9
1
由①②得3＜k2＜1，
?3??3?
故k的取值范围为?－1，－?∪?，1?.
3??3??
10