（3）
39??12分 64PC=AC=2,?AB?BC=2,BD=2，
19.解：（Ⅰ）由题意，
AD=6.在?ABD中，∵AB2?DB2?AD2，∴BD?BA，
∴BD、BA、BC两两垂直，分别以BC、BA、BD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系B?xyz（如图）.A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),P(2,0,2). 设平面PAC的法向量为n?(x,y,z)，CA?(?2,2,0)，CP?(0,0,2)，
??nCA?0?x?y?0，取n?(1,1,0) ???z?0??nCP?0?设直线BP与平面PAC成的角为?， 26则sin?? ??62?6BPnBPn2分 2分 zDP6直线BP与平面PAC成角的正弦值为 6AP?(2,?2,2),BC?(2,0,0). （Ⅱ）设平面PAB的法向量为m?(x,y,z)， AB?(0,?2,0),AP?(2,?2,2).BC xA y1分
??2y?0,??y?0,?AB?m?0,?? ????????2x?2y?2z?0.??x??2z.?AP?m?0.?令z??1,?m?(2,0,?1). 2分 由（Ⅰ）知平面PAC的法向量为令n?(1,1,0). ?cos?m,n??m?n23?? 2分 mn33?2由图知二面角C?PA?B为锐角，
3∴二面角C?PA?B大小的余弦值为. 1分 3
c2c2a2?b21222?a?2b20.解：（I）由题意知e??， 所以e?2?．即. 2a2aa22又因为b??1，所以a2?2，b2?1．
1?1x2?y2?1 . --------------------------6分 故椭圆C的方程为2
（II）由题意,设直线l的方程为y?kx?m(k?0) ，M(x1,y1),N(x2,y2).
?y?kx?m,222???得2k?1x?4kmx?2m?2??0. ?22?x?2y?2
由??16km?42k?12m?2?0,得m2?2k2?1.
22?2??2?2m2?2?4km 则有x1?x2?， x1x2?. ----------------8分 222k?12k?1?因为?NF2F1??MF2A, 且?MF2A?90，
所以kMF2?kNF2?0,又F2?1,0? --------------------9分
y1y2kx?mkx2?m??0，即1??0. x1?1x2?1x1?1x2?1 化简得：2kx1x2??m?k??x1?x2??2m?0.
2m2?2?4km 将x1?x2?，x1x2?
2k2?12k2?1 代入上式得m??2k（满足△?0）.
直线l的方程为y?kx?2k ，即直线过定点（2，0）.------------13分
f`(x)?1nx?2(x?0),令f`(x)?0,得x?21.解：（1）
1e211当x?(0,2)时，f`?(x)?0;当x?(2,??)时，f`?(x)?0ee1111?当x?2时，f(x)min?2(1n2?1)??2 ????? 4分
eeee12ax2?12(x?0) （2）F(x)?ax?1nx?2(x?0),F?(x)?2ax??xx①当a?0时，恒有F?(x)?0，F（x）在(0,??)上是增函数； ②当a?0时，
1令F?(x)?0,得2ax2?1?0,解得0?x??;2a
???2分
??5分
??????8分
令F?(x)?0,得2ax2?1?0,解得x??1;2a综上，当a?0时，F（x）在(0,??)上是增函数；
11)上单调递增，在(?,??)上单调递减 ??9分 2a2a（3）在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x)、f2(x)的“可控函数”， 则f1(x)?f(x)?f2(x)
1令p(x)?f1(x)?f(x)??x2?2ax?a21nx?0对x?(1,??)恒成立
2a2?x2?2ax?a2????11分 又因为p?(x)??x?2a???0,xx11p(x)在（1，??）上是减函数，?p(x)?p(1)???2a?0,?a?243再由f2(x)?f(x)?x?x?a?xlnx?x?0对x?(1,??)恒成立
3于是a?xlnx?x对x?(1,??)恒成立
3令h(x)?xlnx?x，则a?h(x)max,x?(1,??)
当a?0时，F（x）在(0,?对h(x)求导，得h?(x)?lnx?1?3x
21?6x?0在(1,??)上恒成立 ?????????12分 x所以h?(x)在(1,??)上为减函数，则h?(x)?h?(1)??2?0
因此，h(x)在(1,??)上为减函数，所以h(x)max?h(1)??1，即a??1
又?h?(x)???综上可知，函数f(x)是f1(x)、f2(x)的“可控函数”，实数a的取值范围是
?(?1,
1?.??14分 4??