北京市101中学2012届上学期高三年级统考二数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A??1,2,3?，则集合A的真子集的个数是 A. 3个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
2. 已知向量a??1,2?，向量b??x,?2?，且a??a?b?，则实数x等于 A. －4 B. 4 C. 0 3. 下列函数中，在?0,???上为减函数的是
A. f?x??3x
2 D. 9
B. f?x??log1x
2C. f?x??x
D. f?x???1 x 4. 已知p:?a?1??1，q:?x?R,ax2?ax?1?0，则p是q成立的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
?2x,x?0, 5. 设函数f?x???若f?x?是奇函数，则g?2?的值是
x?0?g?x?,11 A. ? B. －4 C. D. 4
44xax 6. 函数y??0?a?1?的图象的大致形状是
|x| 7. 已知数列?an?的通项公式an?log2有 A. 最大值15
nn?N*，设其前n项和为Sn，则使Sn??4成立的自然数nn?1
?? B. 最小值15 C. 最大值16 D. 最小值16
8. 定义运算：
a1a3
a2a4
?a1a4?a2a3，将函数f?x??11 53sin?x1cos?x
（??0）的图象向左平移?个单位，
56所得图象对应的函数为偶函数，则?的最小值是
A.
1 5 B. 1 C. D. 2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 函数y?1?lgx的定义域为_____________。
10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2?b2?3bc,sinC?23sinB，则A＝_____________。
?x2,x?1? 11. 函数f?x???1的值域是_____________。
?,x?1?x 12. 已知数列?an?的前n项和Sn?n2?1，其中n?1,2,3，…，那么a5?_____________；通项公式
an?_____________。
?x?0y?1? 13. 当实数x满足约束条件?y?x（其中k为小于零的常数）时，的最小值为2，则实数k的
x?2x?y?k?0?值是_____________。
14. 下列命题中：①若函数f?x?的定义域为R，则g?x??f?x??f??x?一定是偶函数；
②若f?x?是定义域为R的奇函数，对于任意的x?R都有f?x??f?2?x??0，则函数f?x?的图象关
于直线x?1对称；
③已知x1,x2是函数f?x?定义域内的两个值，且x1?x2，若f?x1??f?x2?，则f?x?是减函数；
④若f?x?是定义在R上的奇函数，且f?x?2?也为奇函数，则f?x?是以4为周期的周期函数。 其中正确的命题序号是_____________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分 15. （本小题满分13分）
已知集合A?x|x?4x?4?a?0，集合B?x|?x?2x?15?0 （I）若a?1，求A?B；
（II）若AB，求实数a的取值范围。
?22??2?
16. （本小题满分13分）
已知函数f?x??cos2x?sin2x?23sinxcosx。
????的值和函数f?x?的最小正周期； 12??（II）求f?x?的单调递减区间及最大值，并指出相应的x的取值集合。
（I）求f? 17. （本小题满分13分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面
cm四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的积之和为18000尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
2
18. （本小题满分13分） 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a5?9,S10?100。
（I）求通项an； （II）记数列???1?Sn?的前项和为，数列Tn??的前n项和为Un，求证：Un?2。 ?n?n??Sn?1?Tn?1? 19. （本小题满分14分）
13x?ax2?3a2x?1?a?0?。 3（I）求函数f?x?的单调区间、极大值和极小值。
（II）若x??a?1,a?2?时，恒有f??x???3a，求实数a的取值范围。
设函数f?x??已知数列?an?中，a1?0,an?1?an?q?qn?1 20. （本小题满分14分）
,q?0，bn?an?2n,n?1，2，3，…
（I）求证数列??an?是等差数列； n??q?bkb?n恒成立。 bk?1bn?12（II）试比较b1b3与b2的大小；
（III）求正整数k，使得对于任意的正整数n,
【试题答案】
一、选择题：CDBAADDB
二、填空题： 9. (0,10] 11. [0,??) 12. 9；?10. 30°或????? ?6?
13. －3
14. 1.2.4
?0?n?1? ?2n?1?n?2?
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2 15. （Ⅰ）当a?1时，x?4x?3?0，解得1?x?3。 则A??x|1?x?3?。（2分）
2由B?x|?x?2x?15?0得?3?x?5
则B??x|?3?x?5?（4分）
??所以A?B??x|1?x?3?（5分）
（Ⅱ）由A?x|x2?4x?4?a2?0??x|?x?2?a??x?2?a??0?，（6分） 当a?0时，A??，适合A
B。（8分）
??当a?0时，得2?a?x?2?a，若A
?2?a??3?B，?2?a?5,0?a?3（10分）
?a?0??2?a??3?B，?2?a?5,?3?a?0（12分）
?a?0?
当a?0时，得2?a?x?2?a，若A
所以实数a的取值范围是?a|?3?a?3?。（13分）
16. 解：（I）f?x??cos2x?3sin2x?2sin?2x?
∴f?????（4分） ?，6?????????（6分） ??2sin????2sin?3。
3?12??66?2???。函数f?x?的最小正周期T?（7分） 2