⒚（本小题满分14分）
如图3，椭圆?的中心在坐标原点O，过右焦点F(1 , 0)且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
⑴ 求椭圆?的方程；
⑵ 直线 l 经过点O交椭圆?于P、Q两点，NP?NQ，求直线 l 的方程．
⒛（本小题满分14分）
已知正项等比数列?an?（n?N?），首项a1?3，前n项和为Sn，且S3?a3、
S5?a5、S4?a4成等差数列．
图3 ⑴ 求数列?an?的通项公式； ⑵ 求数列? nSn?的前n项和Tn．
21（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ex(ax?b)，曲线y?f(x)经过点P(0 , 2)，且在点P处的切线为 l：y?4x?2．
⑴ 求常数a，b的值；
⑵ 求证：曲线y?f(x)和直线 l 只有一个公共点；
⑶ 是否存在常数k，使得x?[?2 , ?1]，f(x)?k(4x?2)恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．
评分参考
一、选择题 BAAC DBCD
二、填空题
y22⒐＞ ⒑2 ⒒x?（对1个3分，错1个?2分） ?1 ⒓0 ⒔②③
911⒕ ⒖ 6n
三、解答题
⒗解：⑴f(x)?3sinx?cosx??2分，?2sin(x?f(x)的最小正周期T?2???5分
?6)??4分，
⑵因为2sin(??所以???6)?2，sin(???6)?1，
?6????6?2???6分， 3?623?8?4??2???8分， 2sin(??)?，sin(??)?，????656566343????3因为?，所以????，cos(??)???9分，
5266265??，?????7分，
所以f(???)?2sin(?????2cos[(????)?2sin(??)?2cos???10分，
62??)?]?2cos(??)cos?2sin(??)sin??11分，
666666?????33?4??12分。 5（或者在第7分之后：f(???)?2sin(????分， ?2cos?[(??)?2sin(??)?2cos???8
62?)?]?2cos?(?)cos?2sin?(?)sin??9分，
666666?8?4?3因为2sin(??)?，sin(??)?，所以cos(??)????10分，
6565654?33所以f(???)???11分，
54?33?因为??(0 , )，f(???)?2cos??0，所以f(???)??12分）
52??????⒘证明与求解：⑴CA?AN?NA1?A1C1?1，AA1?底面，?ANC??A1NC1???1分，?CNC1??4
，C1N?NC??2分，因为CA?CB，BC?CC1，
2AC?CC1?C，所以BC?平面CAA1C1??3分，BC?C1N??4分，因为BC?NC?C，所以C1N?平面BCN??5分
⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系??6分，
则C(0 , 0 , 0)、C1(0 , 0 , 2)、B1(0 , 1 , 2)??7分，
11M( , , 2)、N(1 , 0 , 1)??8分， 2211C1M?( , , 0)、C1N?(1 , 0 , ?1)、CB1?(0 , 1 , 2)??9分，
22??n ?C1M?0设平面C1MN的一个法向为n ?(a , b , c)，则???10分，
??n ?C1N?0?a?b?0即?，取n ?(1 , ?1 , 1)??11分， ?a?c?0所以sin??|cos?n , CB1?|?|n ?CB1||n ||CB1|???12分，?15??13分。 15AMAN2??（方法二）1?，?BAN??NA1M?，?BAN~?NA1M??
A1NAB226分，所以?BNA??A1MN，?MNB?，BN?MN??7分，由⑴知
2BN?C1N，C1N?MN?N，所以BN?平面C1MN??8分。
延长B1B到B2，延长C1C到C2，使BB2?CC2?2，连接BC2、NC2??9
BN2?BC2?NC215cos?NBC2???11分，??
2BN?BC21522?分，在?NBC2中，BN?3，BC2?5，NC2?10??10分，
BN是平面C1MN的法向量，由所作知BC2//B1C，从而???NBC2?所以sin???cos?NBC2?
15??13分。 15其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。
?2，
⒙解：⑴第一次稀释后桶中药液为V?10（升）??2分
V?10⑵第2次倒出后桶中剩余农药(V?10)??8升??3分，依题意
VV?10(V?10)??8?V?60%??5分，即V2?45V?200?0??6分，
V解得5?V?40??7分，又V?10，所以10?V?40??8分。
⑵不能达到50%??9分，再次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积
V?10的比率不超过60%???10分，因为10?V?40，
VV?101010所以60%??60%?(1?)?60%?(1?)?45%??12分 ?13分。
VV40x2y2⒚解：⑴设椭圆?的方程为2?2?1（a?b?0）??1分
ab2b22(a2?c2)22??3??4分 依题意，c?a?b?1??2分，aax2y2解得a?2，b?3??6分，椭圆?的方程为??1??7分
43⑵（方法一）连接ON，由椭圆的对称性OP?OQ??8分，因为NP?NQ，
33所以ON?PQ??9分，依题意，N(1 , ?)??10分，所以kON????11
22122???13分，所以直线 l 的方程为y?x??14分。 分，kl??kON33?x2y2?1??（方法二）设直线 l 的方程为y?kx??8分，解?4??9分，3?y?kx?12121212 , k)Q(? , ?k)??10分，依题意，，22224k?34k?34k?34k?33N(1 , ?)??11分，由NP?NQ得
212312123122222(1?)?(??k)(1?)?(??k)=
224k2?34k2?34k2?34k2?322??12分，解得k???13分，所求直线 l 的方程为y?x??14分。
33⒛解：⑴依题意，设an?3qn?1??1分，S3?a3、S5?a5、S4?a4成等差数列，
得P(所以2(S5?a5)?(S3?a3)?(S4?a4)??2分，即
2(a1?a2?a3?a4?2a5)?(a1?a2?2a3)?(a1?a2?a3?2a4)，
1化简得4a5?a3??4分，从而4q2?1，解得q????5分，
2因为?an?（n?N?）是单调数列，所以q?⑵由⑴知Sn?6(1?16，an?n??6分 221)??7分， 2n123nTn?6(1?)?6(2?2)?6(3?3)???6(n?n)??8分，
2222123nTn?3n(n?1)?6(?2?3???n)??9分，
2222123n23n设Rn??2?3???n，则2Rn?1??2???n?1??11分，
22222221111nn?2两式相减得Rn?1??2?3???n?1?n?2?n??13分，
2222223(n?2)所以Tn?3n(n?1)?6Rn?3n(n?1)?12???14分。
2n?1
21解：⑴f/(x)?ex(ax?a?b)??1分，
0??f(0)?2?e(a?0?b)?2依题意，?/即?0??3分，
?f(0)?4??e(a?0?a?b)?4解得a?b?2??5分。
⑵记g(x)?ex(ax?b)?(4x?2)?2ex(x?1)?2(2x?1)，
则g/(x)?2ex(x?2)?4??6分，
当x?0时，g/(x)?0；当x?0时，g/(x)?0；当x?0时，g/(x)?0??8分，所以g(x)?g(0)?0，等号当且仅当x?0时成立，即f(x)?4x?2，等号当且仅当x?0时成立，曲线y?f(x)和直线 l 只有一个公共点??9分。
⑶x?[?2 , ?1]时，4x?2?0，所以f(x)?k(4x?2)恒成立当且仅当
f(x)ex(x?1)k????10分，
4x?22x?1ex(2x2?3x)ex(x?1)/记h(x)?，x?[?2 , ?1]，h(x)???11分， 22x?1(2x?1)3由h/(x)?0得x?0（舍去），x????12分
233当?2?x??时，h/(x)?0；当??x??1时，h/(x)?0??13分，
223ex(x?1)31?2所以h(x)?在区间[?2 , ?1]上的最大值为h(?)?e，常数k的
242x?11?取值范围为(e2 , ??)??14分．
43