第二章 薄板的弯曲
（习题解答）
2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA为简支边，并作用有分布的弯矩M。BC边为固支边，OC边为简支边。AB边为自由边。
解：OA边：wx?0?0； Mx
MyOC边：wy?0?0；x?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2??M
?x?yx?0?xx?0?0
y?0y?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2?y?xy?0?y
?wBC边：wx?a?0； ?0
?xx?aAB边：My?2w?2w??D(2?u2)?0
?y?xy?b?Myx?x)y?by?b
(Qy??3w?3w??D[3?(2?u)2]?0
?y?x?yy?b
2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自由边，在点B受向下的横向集中力P。试证w?mxy可作为该薄板的解答，并确定常数m、内力及边界处反力。
解：w?mxy满足平衡微分方程?4w?q/D?0
OC边上：wy?0?2w?2w?0； ?D(2?u2)＝0
?y?xy?0OA边上：wx?0?2w?2w?0； ?D(2?u2)＝0
?x?yx?0?2w?2w?3w?3w?0； ?D[3?(2?u)2]?0 AB边上：?D(2?u2)?y?xy?b?y?x?yy?b?2w?2w?3w?3wBC边上：?D(2?u2)?0； ?D[3?(2?u)]?0
?x?yx?a?x?x?y2x?a?2w)??2D(1?u)m??P 在B点上：?2D(1?u)(?x?yx?a,y?b ?m?P
2D(1?u)所以w?Pxy
2D(1?u)?2w?2w?2w?2wMx??D(2?u2)?0；My??D(2?u2)?0；
?y?x?x?yMxy???2wPQx??D?2w?0； Qy??D?2w?0 ??D(1?u)?? ；
?x?y?x?y2?2wRA??2D(1?u)()??P?RC； RO?P
?x?yA
2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为
ACB为
xx2y2固支边，承受横向载荷q=q0。试证w?mx(2?2?1)2可作为解答，求出常数
aabm，最大挠度和点的弯矩。
x4y4x2y2x2y2解：w?mx(4?4?222?22?22?1)
ababab?4wmx?120?x4a4?4wmx ?24 （1）
?y4b42?4w?x?y?48mx22a2b2将（1）式代入薄板的挠度方程
D?4w?q
即
D?4w?mD(120xa4?48xa2b2?24xb4)
?q?qx0aqxm?024D(5a21a4?a2b2?b4) ?q0a3a2a424D(5?2b2?b4) w?q0a3xx2y2(2?2?1)2 24D(5?2a2a4abb2?b4)求最大挠度：
根据对称性可知最大挠度必在y?0上，代入下式
?w5x4?x?m(y4ab?6x2y2x2y24?4a2b2?6a2?2b2?1)?0?w32?y?mx(4yxyyb4?4a2b2?4b4)?0则有
?w?m(5x4x2?xy?0a4?6a2?1)?0 （2）
?w?yy?0?0
由（2）式可解出
a22x?,x?a2
52即
x?5a及x?a 5显然在x?5a处使得w取最大值为 5wmax?m51(?1)2a55 25q0a4?a2a4375(5?22?4)Dbb根据公式弯矩
?2w?2wMx??D(2??2)
?x?y而
?2w20x3xy2x?m(?12?12) 24222?xaaba?2w12xy24x34x?m(4?22?2) 2?ybabb由
?Mx60x212y21212y212x24??D[4?22?2]??(4?22?2)m?0 ?xaabaaabb?Mxxyxy??D[2422?24?4]?0 ?yabb及对称性，可知在y?0,x?a(3?153?)(??)处 2222abab4124??20(Mx)x????Dm?(4??22)?3?(2??2)??
abab?a?其中??a(3?153?)(??)。 a2b2a2b2而Mx在C点，即x?a,y?0处的值为
?2012?(Mx)C??Dm????aa? ?q0a2?a2a43(5?22?4)bb2-4 有一矩形薄板，边长为a和b。若其挠度函数为w=Cxy(a-x)(b-y)，求该薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。
解：?w?Cxy(a?x)(b?y)?Cabxy?Caxy2?Cbx2y?Cx2y2
??w?Caby?Cay2?2Cbxy?2Cxy2； ?x?w?Cabx?2Caxy?Cbx2?2Cx2y； ?y?2w?2w2??2Cby?2Cy；2??2Cax?2Cx2； 2?x?y?4w?4w?4w?4C；4?0；4?0 22?x?x?x?y
由?4w?q/D?2?4C?q/D?q?8CD
x?0时：wx?0?0；
?w?x?0不是固支边，是简支边
x?0
(Mx)x?0?2w??D2?2CD(y2?by)?Mx
?xx?0?w?x?0不是固支边，是简支边
x?ax?a时：wx?a?0；
(Mx)x?a?2w??D2?2CDy(b?y)?Mx
?xx?a?w?y?0不是固支边，是简支边
y?0y?0时：wy?0?0；