(Mr)r?ad2w?dw??D[2?]drrdr??D[8?Ca2??0?a8Ca2] (4)
由（1）式、（4）式(wr)r?a?0,(Mr)r的边界条件为简支边。
a??0知道该挠度方程所对应的圆形薄板
轴对称圆形薄板弯曲的基本微分方程为
d21d2(2?)w?qDdrrdr?d4w2d3w1d2w1dw???4??22?3?qD ?3rdrrdrrdr??dr?C?64(1??)??qD?q?64CD(1??)圆板的弯矩表达式
d2w?dwMr??D(2?) drrdr?4CD(1??)(3??)(a2?r2)1dwd2wM???D(??2)rdrdr
22?4CD(1??)?(3??)a?(1?3?)r)???2-9 半径为a的圆形薄板，周边简支，在中心受集中载荷P，试求薄板的挠度和内力。
解：根据轴对称圆形薄板弯曲的特点，设挠度表达式为
w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4 （1）
根据边界条件：
在r?0处
dw?0?C1?0 （2） drdw?2C2rlnr?C2r?2C3rdr1dw?2C2lnr?C2?2C3 rdrd2w?2C2lnr?3C2?2C32drM??D(d2wudwrdr2?rdr)??D[2(1??)C2lnr?(3??)C2?2(1??)C3]Qdd2w1dwr??Ddr(dr2?rdr)??D4C2r集中载荷P可化为分布载荷
P2?b(b很小) D4C2Pb?2?b?CP2?8?D 将（2）式、（3）式代入（1）式得
w?Pr28?Dlnr?C23r?C4 在r=a处
wr?a?0(Mr)r?a?0
即
Pa28?Dlna?C23a?C4?0 2C2(1??)lan??(?3C2)?2??(1C3? ) 联立（3）、（5）、（6）式，解得
CPlnaP(?3?)3?? 8?D?1?6D(?1?)2 CPa(3??)4?16?D(?1?)将（7）代入（4），得到薄板挠度函数表达式
w?Pr3?16?D[2r2lna??1??(a2?r2)] 薄板的内力
3）4）5）6）7） （
（ （ 0 （ （ Qr??P2?rPa Mr?(1??)ln4?rPaM??[(1??)ln?(1??)]4?r2-10 半径为a的圆形薄板，周边固定，沿半径r=b(b
解：将圆板分为0?r?b和b?r?a两部分。 根据轴对称圆形薄板弯曲的特点，设挠度表达式为
w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4
dw1?C1?2C2rlnr?C2r?2C3rdrr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3 rdrrd2w1??C12?2C2lnr?3C2?2C3dr2rd2wudwMr??D(2?)drrdr
1??D[?C1(1??)2?2C2(1??)lnr?C2(3??)?2C3(1??)]rdd2w1dwQr??D(2?)drdrrdr 4C??D2r对于内圆： 在r=0处，所以内圆的挠度可以表示为
dw?0Qr?0dr'2' w'?C3r?C4?C1?C2?0
外圆处的边界条件： 在r=a处，wr?0内外圆相连的 r=b处，w?w即有如下的六个方程
'dw?0 drdw'dw?drdrMr'?MrQr'?Qr?q0
?C1lna?C2a2lna?C3a2?C4?0?1?C1?2C2alna?C2a2?2C3a2?0?a'?C1lnb?C2b2lnb?C3b2?C4?C3'b2?C4??1' ? C1?2C2blnb?C2b2?2C3b2?C3'b2?C4b??'C1?2C2(1??)lnb?C2(3??)?2C3(1??)?2C3(1??)??(1??)2b??4DC?q02?b?q0b3qb?C1?C2?04D4Dq0bq0b2q0b3b22C3??(1?2)C4?(a?b)?lna8Da8D4D 2qb1bbC3'?0[(1?2)?ln]4D2aaq0a2bb2b1b2'C4?[ln?(1?2)]4Da2a2a因此，薄板的挠度表达式为
q0a2br2b2b1b2r2w?[(2?2)ln?(1?2)(1?2)]4Daaa2aaq0a2br2b2r1b2r2w?[(?)ln?(1?2)(1?2)]4Da2a2a2aa(0?r?b)
(b?r?a)2-11 圆环形薄板，外边界r=a为简支，在内边界r=b的圆周上受有均布剪力
Q0，试求挠度表达式
解：设挠度表达式为
w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4
dw1?C1?2C2rlnr?Cr2?2Cr3drr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3
rdrrd2w1??C?2C312?2C2lnr?3C2dr2rd2wudwMr??D(2?)drrdr
1??D[?C1(1??)2?2C2(1??)lnr?C2(3??)?2C3(1??)]rdd2w1dwQr??D(2?)drdrrdr 4C??D2r利用边界条件确定系数 在r=a处，wr?a?0(Mr)r?a?0
(Mr)r?b?0
在r=b处，(Qr)r?b??Q0即
?C1lna?C2a2lna?C3a2?C4?0???(1??)C1?2C(1??)lna?C(3??)?2C(1??)?02232?a? ?C1??(1??)2?2C2(1??)lnb?C2(3??)?2C3(1??)?0b?4C??D??Q0?b?Qb?C2?04D(1??)Q0ba2b2bC1?ln(1??)2D(a2?b2)aQ0b2b2b3??C3?[2ln?]28Da?ba1??Q0a2b3??2b2bC4?[?2ln]8D1??a?b2a
因此，挠度的表达式为
??Q0a2b?r2??3??b2b?w?1??ln???2??224D?a2(1??)a?ba??????rr2b1??br?ln?lnln?a2aa2?b21??aa?22
2-12 半径为a的圆形薄板，周边简支，中心有连杆支座，在边界上受均布弯矩M0作用，试求薄板的挠度和内力。
解：设挠度的表达式为
w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4
dw1?C1?2C2rlnr?C2r?2C3rdrr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3 rdrrd2w1??C12?2C2lnr?3C2?2C3dr2rd2wudwMr??D(2?)drrdr1??D[?C1(1??)2?2C2(1??)lnr?C2(3??)?2C3(1??)]rdd2w1dwQr??D(2?)drdrrdr 4D??C2r在r=0处，w?0?C1?C4?0，于是
w?C2r2lnr?C3r2
在r=a处，wr?a?0(Mr)r?a?M0，即
?C2a2lna?C3a2?0 ???D[2C2(1??)lna?C2(3??)?2C3(1??)]?M0?C2??M0(3??)DC3?M0lna
(3??)Dw???薄板的内力
Qr?M0M0r2lnr?lnar2(3??)D(3??)D2M0raln(3??)Dr4M0
(3??)r
?2?1???r?Mr?M0?1?ln?3??a??
M0?r?M??1?3??21??ln????3???a???