(My)y?0?2w??D2?y?w?y?2CDx(a?x)?My
y?0y?b时：wy?b?0；
?0不是固支边，是简支边
y?b
(My)y?b?2w??D2?y?2CDx(a?x)?My
y?b2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷P，试求最大挠度。
解：具体求解过程参照教材P52?P55。针对边长为a的四边简支正方形薄板在板中点受横向载荷P。最大挠度为
wmax4P?42?Da?4Pa?4D2a4??222m?1n?1(m?n)????1??222m?1n?1(m?n)
精度取决于取多小项。
当取m?n?1时，最大挠度为
wmax?0.0103Pa2/D
2-6四边简支矩形薄板，边长为a和b，受横向分布载荷q?q0sin试证挠度函数w?msin置。
解：挠度函数w?msin?xasin?yb，
?xasin?yb是该板的解。并求最大挠度、最大弯矩及其位
?xasin?yb满足四边简支的边界条件。即
?2w在x?0,x?a处，w?0,2?0
?x?2w在y?0,y?a处，w?0,2?0
?y由于
?4w?4?x?y?msinsin?x4a4ab?4w?4?x?y?msinsin?y4b4ab?4w?4?x?y?msinsin2222?xyabab所以
?4w?(
1214?x?y??)?msinsin4224aabbab
q0?x?y?sinsinDabq0121??)? a4a2b2b4D?m?4(q0a4 ?m?4222?(1?ab)D则挠度函数为
q0a4?x?y w?4sinsin?(1?a2b2)2Dab在x?a/2,y?b/2处，挠度取得最大值
wmax弯矩
q0a4 ?4?(1?a2b2)2D?2w?2w?2?2?x?yMx??D(2??2)?Dm[2??2]sinsin?x?yababMy??D(?w?w???x?y??)?Dm[??]sinsin2222?y?xbaab2222
在x?a/2,y?b/2处，弯矩取得最大值
(Mx)maxq0a2(1??a2b2)?2?(1?a2b2)2(My)maxq0a4(1??b2a2) ?22222?b(1?ab)
2-7 如图2-7，四边简支矩形薄板上作用有三角形分布载荷，即
p(x,y)?q0xa 试用双重三角级数方法求挠度函数。
解：薄板弯曲的基本微分方程为
D?4w?p （1） (,xy)边界条件是
在x?0和x?a处，w?0,?2w?x2?0在y?0和y?b处，w?0,?w?y?0挠度用双重三角级数表示为
w???Amnsinm?1n?1??22 （2）
m?xn?y （3） sinab其中m和n是任意整数，Amn为待定系数。显然,(3)式满足（2）式所述的全部边界条件。
将（3）式代入（1）式，得
?m2n2?m?xn?y4?D???2?2?Amnsinsindxdy?p(x,y) （4）
ababm?1n?1????2为了求出系数Amn，必须先将（4）式右端的载荷展开成与左端同样的双重三角级数形式
p(x,y)???Cmnsinm?1n?1??m?xn?y （5） sinabi?x，其中i为任意正整数。然a先求出系数Cmn。将（5）式的左右两端都乘以sin后对x积分，积分限从0到a，并注意
a?sin0(m?i)?0m?xi?x sindx??aa?a2(m?i)得到
i?xa?n?y p(x,y)sindx?Csin?in?a2n?1b0再将上式两端都乘以sin从0到b，得到
baaj?y，其中j也是任意正整数。然后对y积分，积分限b??p(x,y)sin00i?xj?yabsindxdy?Cij ab4因为i和j是任意整数，故可以改写为m和n。所以从上式可得
Cmn4m?xn?y?p(x,y)sinsindxdy （6） ab??ab00?2ab将（5）式代入（4）式，得
?m2n2?m?xn?y4?D???2?2?Amnsinsindxdyb?abm?1n?1?a ??m?xn?y???Cmnsinsinabm?1n?1?两个相同的级数要相等，必须使相应项的系数都相等，从而得
ab Amn?4??p(x,y)sin00m?xn?ysindxdyab222?4Dab?将p(x,y)?q0xa代入上式。
?mn??2?2b??a （7）
m?xn?ym?xn?yp(x,y)sinsindxdy?qxasinsindxdy 0????abab0000?2bn?yb? ?sindy?[1?cosn?]??n?bn?0??0babab(n为奇数)（n为偶数）
ab??q0xasin00am?xn?ysindxdyabm?x2bdx?an?(n为奇数)
??q0xasin0 （8）
(n为奇数)(n为奇数)=2bq0??acosm??mn?2(?1)m?12abq0?mn?2(?1)m?18q0将（8）式代入（7）式得到系数
Amn??mn??22?ab??222 （9）
?6Dmn?将（9）式代入（3）式得到挠度函数
8qw?06D?(?1)m?1m?xn?ysinsin ??22mnabm?1n?1,3,5mn(2?2)2ab??2-8 已知圆形薄板的挠度方程为
w?C[(5??)a4?2(3??)a2r2?(1??)r4]
式中a是板的半径，C是常数。试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什么样的载荷？并求出板的弯矩方程式。
解：因为挠度方程只是关于r的函数，故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。
(w)r?a?C[(5??)a4?2(3??)a2a2?(1??)a]4
?C[(5??)a4?(6?1??)a4]?0( (1)
dw)r?a?C[?4(3??)a3?4(1??)a3] (2) dr??8Ca3d2w(2)r?a?C[?4(3??)a2?12(1??)a2] (3) dr?8?Ca3