南京第十四中学高二数学暑假作业
(3)当a??1时，由（2）知[f(x)]min?f(ln(?a))??a?aln(?a)?1， 设
h(x)?g(x)?f(x)?exlnx?ex?x，则
11h/(x)?exlnx?ex??ex?1?ex(lnx??1)?1，
xx假设存在实数x0?(0,??)，使曲线C:y?g(x)?f(x)在点x?x0处的切线斜率与
f(x)在R上的最小值相等，x0即为方程的解，………………………………13分
11?1)?0，因为ex?0， 所以lnx??1?0. xx111x?1令?(x)?lnx??1，则?'(x)??2?2 ，
xxxx1当0?x?1是?'(x)?0，当x?1时?'(x)?0，所以?(x)?lnx??1在(0,1)上单调
x1递减，在(1,??)上单调递增，??(x)??(1)?0,故方程 ex(lnx??1)?0有唯一解
x令h'(x)?1得：e(lnx?x为1， 所
以
存
在
符
合
条
件
的
x0，且仅有一个
x0?1. ………………………………16分
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解答题模块训练7答案
1、解：若p真，则y=(2a-6)x在R上单调递减，∴0<2a-6<1, ∴3
7…………2分 2?Δ?(?3a)2?4(2a2?1)>0???3a22
若q真，令f(x)=x-3ax+2a+1，则应满足??，…5分 ?3?22??f(3)?9?9a?2a?1?0??a>2或a，…………………………………………7分
2?5?a?2或a??2又由题意应有p真q假或p假q真．
7?3?a???2，a无解．……………………………10分
（i）若p真q假，则??a?5?2?7?a?3或a???2，∴5
（ii）若p假q真，则?22?a?5?2?57 故a的取值范围是{a|
22????????332、解：（1）由BA?BC?，得accosB?．…………2分
22因为cosB?3，所以b2?ac?2．…………4分 4由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得a2?c2?b2?2accosB?5， 则(a?c)2?a2?c2?2ac?9，故a?c?3．…………7分 （2）由cosB?37，得sinB?．…………9分
44由b2?ac及正弦定理得sin2B?sinAsinC，…………11分
cosAcosCsinCcosA?cosCsinAsin(A?C)sinB147………14分 ??????sinAsinCsinAsinCsin2Bsin2BsinB7南京第十四中学高二数学暑假作业
3、解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴ AD⊥C C1．………………………………………2分
又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………5分
（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…………7分
当
B1E?1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．………………8分 EC1事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B= DE． ………………………………………10分
又B1B∥AA1，且B1B=AA1，∴DE∥AA1，且DE=AA1． ……………………………13分 所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1∥AD．
而E A1?面AD C1内，故A1E∥平面AD C1． ………………………15分 4、解：(1) 设四边形EFGH的面积为S,?
则S△AEH=S△CFG=x2, ……………2分 S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x),?……………4分
∴S=ab-2［x2+(a-x)(b-x)］= －2x2+(a+b)x= －2(x-12121212a?b2(a?b)2)+,?……6分
84由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.?……………8分
(2) 因为0＜b＜a,所以0＜b＜若若
a?b, 2a?ba?b(a?b)2≤b,即a≤3b时,则当x=时,S有最大值;?………11分
844a?b＞b,即a＞3b时,?S(x)在(0,b］上是增函数,? 4a?b2(a?b)2此时当x=b时,S有最大值为-2(b-)+=ab-b2,?………14分
84综上可知,当a≤3b时,x=
a?b(a?b)2时,?四边形面积Smax=,?
84当a＞3b时,x=b时,四边形面积Smax=ab-b2.? ………15分
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1x－kkx－11
5、解：(1)由>0及k>0得>0,即(x－)(x－1)>0.
kx－1x－11
①当0
k②当k＝1时,x∈R且x≠1；……………4分 1
③当k>1时,x<或x>1. ……………6分
k
1
综上可得当0 k1 当k≥1时,函数的定义域为(－∞,)∪(1,＋∞)．……………8分 k 10k－11 (2)∵f(x)在[10,＋∞)上是增函数,∴>0,∴k>.……………10分 1010－1 kx－1k－1 又f(x)＝lg＝lg(k＋),故对任意的x1,x2,当10≤x1 x－1x－1k－1k－1k－1k－111 即lg(k＋) x1－1x2－1x1－1x2－1x1－1x2－1111 又∵>,∴k－1<0,∴k<1.综上可知k∈(,1)．…………………………16分 10x1－1x2－16、解：（1）因为f(1)?a?b?c?0,且a?b?c,所以a?0且C?0,…………2分 cacc1 ?a?0且c?0,??0?1,又a?b?c,b??a?c,∴可得?2???，… 4分 aa2 ∵f(1)?0,?1是f(x)?0的一个根,由韦达定理知另一根为, 假设存在，由题意，则 ccca(m?)(m?1)??a?0??m?1?m?3??3??2?3?1. aaa 因为f(x)在(1,??)单调递增,?f(m?3)?f(1)?0, 即 存在这样的m使f(m?3)?0.……… 6分 （2）令g(x)?f(x)?1[f(x1)?f(x2)],则g(x)是二次函数. 2南京第十四中学高二数学暑假作业 ?g(x1)?g(x2)?[f(x1)?1??[f(x1)?f(x2)]2?04f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)][f(x2)?]22 ?f(x1)?f(x2),g(x1)?g(x2)?0,?g(x)?0有两个不等实根,且方程g(x)?0的根必有一个属于(x1,x2).…… 10分 （3）由f(0)?0得c=0，∴f(x)?ax?bx 由f(x)?x，得方程ax?(b?1)x?0，解得x1=0，x2=又由f[f(x)]?x}得a[f(x)]?bf(x)?x ∴a[f(x)?x?x]?b[f(x)?x?x]?x ∴a[f(x)?x]?2ax[f(x)?x]?ax?b[f(x)?x]?bx?x?0 ∴[f(x)?x][af(x)?ax?2ax?b?1]?0 即[f(x)?x][ax?a(b?1)x?b?1]?0 ∴f(x)?x?0 或 ax?a(b?1)x?b?1?0 （*）……12分 由题意（*）式的解为0或 2222222222 1?b， a1?b或无解， a当（*）式的解为0时，可解得b??1，经检验符合题意； 当（*）式的解为 1?b时，可解得b?3，经检验符合题意； a2222当（*）式无解时，??a(b?1)?4a(b?1)?0，即a(b?1)(b?3)?0 ∴?1?b?3 综上可知，当?1?b?3时满足题意.…… 16