南京第十四中学高二数学暑假作业
解答题模块训练8答案
1．解：（1）a?x2?m2， b?(m?1)2x2?x2， ……………………4分
因为a?b，所以a?b ，从而x2?m2?(m?1)2x2?x2． 因为m?0，所以(解得x??m2)?x2， …………………………6分 m?12222mm或x?． …………………………8分 m?1m?1（2）a?b?(m?1)x2?mx． ………………………10分 由题意，得(m?1)x2?mx?1?m对任意的实数x恒成立， 即(m?1)x2?mx?m?1?0对任意的实数x恒成立． 当m?1?0，即m??1时，显然不成立，
?m?1?0,从而?2 ……………………………12分
m?4(m?1)(m?1)?0.??m??1,23?解得? 所以． ………………………14分 m?23233,或m??.?m?33?2．（本小题满分14分）
证明：（1）取BC中点M，连结FM，C1M．
在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点，
所以FM ∥1AC． ………………………………2分 2 因为E为AC11的中点，AC ∥AC11，所以FM ∥EC1．
从而四边形EFMC1为平行四边形， 所以EF∥C1M．………………4分 又因为C1M?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，
所以EF∥平面BB1C1C． ………………………6分
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（2） 在平面AAC?AC，O为垂足． 11C内，作AO1 因为∠A1AC?600，所以AO?11AA1?AC， 22AFA1EB1C1从而O为AC的中点．……8分
所以OC∥A1E，因而EC∥AO． ………10分 1因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，AO?AC， 1OMBC所以AO?底面ABC． 所以EC?底面ABC． …………12分 1又因为EC?平面EFC， 所以平面CEF⊥平面ABC． ……………14分 3．解：（1） n?1时，8a1?a12?4a1?3，a1?1或a1?3． ………………………2分 1222当n≥2时，8Sn?1?an(an?4an?an?1?4an?1?3，an?Sn?Sn?1??1?4an?1)，
8从而(an?an?1)(an?an?1?4)?0．因为?an?各项均为正数，所以an?an?1?4．…6分 所以，当a1?1时，an?4n?3；当a1?3时，an?4n?1．
又因为当a1?1时，a1,a2,a7分别为1，5，25，构成等比数列，所以an?4n?3，bn?5n?1． 当a1?3时，a1,a2,a7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分 （2）满足条件的a存在，a?45． ………………………12分 由（1）知，an?4n?3，bn?5n?1，从而
an?logabn?4n?3?loga5n?1?4n?3?(n?1)loga5?(4?loga5)n?3?loga5．
由题意，得4?loga5?0，所以a?45． ………………………14分 4．解：（1）圆心C(m,0)(?1?m?1) ，则⊙C的半径为r?1?m2 ．
从而⊙C的方程为(x?m)2?y2?1?m2． ………………………………2分 x2y2 椭圆D的标准方程为2?2?1． ………………………4分
b?1b南京第十四中学高二数学暑假作业
x2（2）当b?1时，椭圆D的方程为?y2?1．
2x12x1222设椭圆D上任意一点S(x1,y1)，则?y1?1，y1?1?．
22x121因为SC?(x1?m)?y?(x1?m)?1??(x1?2m)2?1?m2 ………6分
2222212≥1?m2?r2，
所以SC≥r，从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部．…8分 ?????????（3）OM?OL?b2?1为定值． ……………………………………9分
证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则由题意，得N（x1，－y1），x1?x2，y1??y2． 从而直线PQ的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xM?x1y2?x2y1，又直线QN的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0．
y2?y1x2y1?x1y2． ………………………………13分
y2?y1令y＝0，得xL?22x12y12x2y2因为点P，Q在椭圆D上，所以2??1，2??1，
b?1b2b?1b2b2?12b2?122222从而x1?b?1?2y1，x2?b?1?2y2，所以
bbb2?122b2?1222(b?1?2y1)y2?(b?1?2y2)y12(b2?1)(y2?y12)bbxM?xL???b2?1 ． 2222y2?y1y2?y12?????????所以OM?OL?xM?xL?b2?1?定值． ……………………16分
ππaπ3π5． 解：（1）当??(,)时，点P在线段OG上，AP?；当??(,)时，点P
42sin?24aaπ在线段GH上，AP?；当 ??时，AP?a． ?sin(π??)sin?2 综上所述，AP?aπ3π，??(,)． …………………………2分sin?442a?2a?π3π，故所求函数关系式为l?，??(,)…4分 sin?44sin?所以，弧AD的长l?AP?2??ππaacos?π3π（2）当??(,)时，OP?OG?PG?a?；当??(,)时，?a?42tan?si?n24南京第十四中学高二数学暑假作业
OP?OG?GH?a?aaacos?π；当 ??时，OP?a． ?a??a?tan(π??)tan?sin?2所以，OP?a?记f(?)?acos?π3πOPsin??cos?，??(,)…6分，从而，…8分 ?sin?44l2?sin??cos?π3π?(cos??sin?)?(sin??cos?)，??(,)．则f?(?)?．
2?442?2令f?(?)?0，得?(cos??sin?)?sin??cos?． …………………………10分 π3πsin??cos?因为??(,)，所以cos??sin??0，从而??．
44cos??sin?显然??πsin??cos?tan??1π，所以????tan(??)．…………………………12分
cos??sin?tan??142π记满足??tan(??)的???0，下面证明?0是函数f(?)的极值点．
4π3π设g(?)??(cos??sin?)?(sin??cos?)，??(,)．则g?(?)??(cos??sin?)?0在
44??(,π3ππ3π)上恒成立，从而g(?)在??(,)上单调递减． …………………14分 4444ππ所以，当??(,?0)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(,?0)上单调递增；
44当??(?0,3π3π)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(?0,)上单调递减． 44π故 f(?)在???0处取得极大值，也是最大值．所以，当?满足??tan(??)时，函数f(?)4即
OP取得最大值，此时招贴画最优美． ………………………16分 l6．解：（1）当a?1时，因为x?[?1,1]，所以f(x)??x3?x． 则f?(x)??3x2?1??3(x?x f?(x)
3333．………2分 )(x?)令f?(x)?0，得x?,x??3333?1 0
(?1,?3) 3?3 3(?33,) 333 3(3,1) 31 0
? 0 极小
? 0 极大值
?
f(x)
↘
?值23 9↗
23 9↘
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所以，函数f(x)在x?[?1,1]上的最小值、最大值分别为?2323、．……6分 99（2）（ⅰ）当a?0时，f(x)?x3，f(x)的单调增区间为(??,??)；…………7分 （ⅱ）当a?0时，f(x)?x3?ax．因为f?(x)?3x2?a?0恒成立，
所以f(x)在(??,??)上单调递增，从而f(x)的单调增区间为(??,??)； …………9分 （ⅲ） 当a?0时，①当x≥a或x≤?a时，f(x)?x3?ax．
因为f?(x)?3x2?a?3(x?aaaa)(x?)，???a，?a， 3333所以当x≥a或x≤?a时，f?(x)?0，
从而f(x)的单调增区间为(??,?a)及(a,??)． ……………………11分 ②当?a?x?a时，f(x)??x3?ax． f?(x)??3x2?a??3(x?aa)(x?)， 33令f?(x)?0，得x?列表： x f?(x) f(x)
(?a,?a) 3aa． ……………………13分 ,x??33?a 3(?aa,) 33a 3(a,a) 3? ↘
0
? ↗
0
? ↘
所以，f(x)的单调增区间为(?(aaa,)， f(x)的单调减区间为(?a,?)，333a ……………………………………………………15分 ,a)．
3综上所述，当a≤0时 ，函数f(x)的单调增区间为(??,??)；当a?0时， 函数f(x)的单调增区间为(??,?a)，(a,??) ，(?(?a,?aa,)， f(x)的单调减区间为33aa)，(,a)． …………………………16分 33