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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z?i??1?i??i为虚数单位?在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 B
【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。 选D
3.在锐角中?ABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB?A．
?123b,则角A等于
B．
?6 C．
?4 D．
?3
【答案】 D
【解析】 由2asinB=选D
?y?2x?4.若变量x,y满足约束条件?x?y?1，则x?2y的最大值是
?y??1?3b得: 2sinA ?sinB = 3?sinB?sinA = 32，A??2?A =?3
A．-52 B．0 C．
53 D．
52
【答案】 C
【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点(,)时，u?331253最大
选C
5.函数f?x??2lnx的图像与函数g?x??x?4x?5的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0
2【答案】 B
【解析】 二次函数g?x??x?4x?5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B
6. 已知a,b是单位向量，a?b?0.若向量c满足c?a?b?1,则c的取值范围是
,2+1? B．?2-1，,2+2? A．?2-1，????,2+1? D．?1，,2+2? C．?1，????2【答案】 A
【解析】
?a,b是单位向量，?|a?b|?2,|c-a?b|?|(a?b)-c|?1.即一个模为2的向量与c向量之差的模为1，可以在单位圆中解得2-1?|c|?2?1。
选A
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ．．．
A．1 B．2 C．2-12 D．2+12
【答案】 C
【解析】 由题知，正方体的棱长为1，
正视图的高为1，宽在区间[1,2]上，所以正视图的面积也在区间[1,2]上.而2-12?1。 选C
8.在等腰三角形ABC中，AB=AC?4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过?ABC的中心，则AP等
A．2 B．1 C．
83 D．
43
【答案】 D
【解析】 使用解析法。
设P(x,0),BC的中点D(2,2).??ABC的重心O在中线的23处，?O(44,). 33设直线RQ的斜率为k,则其方程为y?k(x?43)?43?R(0,43(1?k)),Q(4(k?2)4(2k?1),)3(k?1)3(k?1)。
kRP?4(k?1)3,kQP?4(2k?1)4(k?2)?3x(k?1),由题知k?kRP?0,k?kQP?1?(2k?1)(k?1)?0
1?k???k?1?2 ??，?4x?0(舍）??x??3?选D
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
?x?t,?x?3cos?,l:?(t为参数)过椭圆C:?9.在平面直角坐标系xoy中，若?y?t?a?y?2sin?
(?为参数)的右顶点，则常数a的值为 3 . 【答案】 3 【解析】
xy直线l方程:y?x?a,椭圆方C程：??1的右顶点9422(?3,0)??3?0?a?a?3
10.已知a,b,c?,a?2b?3c?6,则a?4b?9c的最小值为 12 . 【答案】 12
【解析】 考察柯西不等式22222222.
22222(1?1?1)?(a?(2b)?(3c))?（1?a?1?2b?1?3c）?36?a?4b?9c?12
且当a?2,b?1,c?23时，取最小值.
11.如图2，在半径为7的?O中,弦AB,CD相交于点P,PA?PB?2,
PD?1，则圆心O到弦CD的距离为 . 【答案】 【解析】
32
由相交弦定理得AP?PB?DP?PC?PC?4,DC?5，圆心到CD的距离d?r?(2PC2)2?32
（一）
T20必做题（12-16题）
12.若?xdx?9,则常数T的值为 3 . 【答案】 3 【解析】
?T0xdx?2x3T3?0T33?9?T?3
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入
a?1,b?2,则输出的a的值为 9 . 【答案】 9
【解析】 a?1?2?2?2?2?9
14．设F1,F2是双曲线C:PFxa22?yb22?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若
1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为___。
?【答案】 3
【解析】 设P点在右支上，m?|PF1|,n?|PF2|,则??m?n?6a?m?n?2a?m?4a,n?2a
由题知，?PF1F2中，?PF1F2?30?.由余弦定理得:cos30??16a?4c?4a2?8ac222?13ac(?)?4ca32
?e?ca?3
15．设Sn为数列?an?的前n项和，Sn?(?1)an?n12n,n?N,则
?（1）a3?_____；
（2）S1?S2?????S100?___________。 【答案】 3
【解析】 设P点在右支上，m?|PF1|,n?|PF2|,则?
16．设函数f(x)?a?b?c,其中c?a?0,c?b?0.
且a=b?，则（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为__(0，1]__。
xxx?m?n?6a?m?n?2a?m?4a,n?2a
1] 【答案】 (0，【解析】
由题知c?a,c?a?b?2a，令f(x)?2a?cxx?c[2(xac)?1]?0?(xca)?2?x?xln2lnca
?ca?2.又?lnca?ln2?0?ln2ln2?ln2lnca?0,?x?ln2lnca?(0，1]。
1] 所以f(x)的零点集合为(0，
（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有正确结论的序号）
①?x????,1?,f?x??0;
②?x?R,使xa,b,c不能构成一个三角形的三条边长； ③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0. 【答案】 ①②③
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