高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070
19、（1）d=-70，d1=-70，d2=-70，d3=-70，d4=-70 x1?
dd1dd=1 x2?2=1 x3?3=1 x4?4=1 dddd
（2）d=324，d1=324，d2=648，d3=-324，d4=-648 x1?dd1dd=1 x2?2=2 x3?3=1 x4?4=-2 dddd（3）d=24，d1=96，d2=-336，d3=-96，d4=-168， d5=312
x1?
ddd1dd=4 x2?2=-14 x3?3=-4 x4?4=-7 x5?5=13 ddddd（4）d=665，d1=1507，d2=-1145，d3=703，d4=-395， x1?d5=212
dd212d11057dd2293779= x2?2=? x3?3=- x4?4=? x5?5= d665ddd133d66513335得
20、证明：由
这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式
为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。
21、13.56 13.48
第三章 线性方程组 习题解答
1、（1）无穷多解 （2）无解
（3）（-8,3,6,0） （4）无穷多解 （5）无解 （6）无穷多解
6 第 6 页 共 27 页
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2、（1）??5111?1??2??3??4 （2）???1??3 4444使
成立，这与
显然
。事实线性无
3、证 有题设，可以找到不全为零的数上，若
，而
不全为0，使
关的假设成立，即证
4、证 设有线性关系
。故
即向量?可由
线性表出。
带入分量，可得方程组
由于
5、证：设有线性关系
，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,....?n线性无关。
则
当r=n时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列
式为一个范德蒙行列式，即
由定理得：方程组有唯一解，就是说
当r 线性无关。 则由上面（1）的证明可知 的延长向量所以 也线性无关。 第 7 页 共 27 页 是线性无关的。而是 7 高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070 6、证：由线性关系， 。再由题设知 则 线性无关，所以 解得 7、 证：设 是都可由 事实上，向量组 ，所以线性无关 中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量 线性表出就可以了。 是线性无关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾。这说明 ，再由 得任意性，即证。 所以 ，且等于r。又因为 的一个极大线性无关组。 线性无关，故而 8、证：有题设知 9、 证： 将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。 若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量?不能由向量组（2）线性表出，此时将?添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。 进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。 10、 证（1）由于（2）因为 线性无关。 再令 齐次方程组存在非零解，即 8 的对应分量不成比例，因而 且由 线性无关。 可解得 所以 带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为0，因而该 线性相关，所以 可由 线性表出。 第 8 页 共 27 页 高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070 11、解（1） 对矩阵A做初等行变换，可得： 所以 极大线性无关组。 （2）同理可得 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 的秩为3，且即为所求 13、设?1,?2,....?n的秩为r?n，因而从而r=n。故?1,?2,....?n线性无关。 的秩为n，有题设和上题知n?r 14、证：必要性。设?1,?2,....?n线性无关，但是n+1个n维向量对于任意n维向量?，他必可由?1,?2,....?n线性表出。 充分性：任意n维向量?1,?2,....?n可由线性表出，特别的单位向量出，于是有上题结果即证?1,?2,....?n线性无关。 15、 证:充分性:有克莱姆法则即证. 必要性:记 , 必线性相关，于是 可由?1,?2,....?n线性表 则原方程组可表示成 ,有题设知,任意向量?都可由?1,?2,....?n表出,因此由上题结果可 知?1,?2,....?n线性无关. 进而,下述线性关系, 16. 由于 个数必定相等，这样 与 有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量 的最大线性无关组也必为 的极大线性 ,仅有唯一零解,故必修有 ,即证. 无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。 17、 第 9 页 共 27 页 9 高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070 证：只要证明向量组等价即可。有题设，知 现在把这些等式统统加起来，可得（i=1,2，。。。r）即证 等价。 18、（1）4 （2）3 （3）2 （4）3 （5）5 19、（1）?=1时 无穷多解 ?=-2时无解 也可由 可由 于是 线性表出，从而向量组 线性表出。 ， 与 ??11(??1)2??1且??-2时方程组解唯一，x1??,x2?,x3? ??2??2??2 ?3?3?2?15??9?3?12??94?3??3?2?12??9??0且??1时方程组解唯一 ：x1? ,x2?,x3?222?(??1)?(??1)?(??1)（3）当行列式D?0时，即a?1且b?0时，方程组有唯一解，且为 x1?2b?111?2ab?4b,x2?,x3? b(a?1)bb(a?1)当D=0时若b=0无解 若a=1时无解 当a=1，b= 1时方程有无穷多解。 220、（1）无穷多解?1?(1,?2,1,0,0),?2?(1,?2,0,1,0),?3?(5,?6,0,0,1) （2）无穷多解?1?(?1,1,1,0,0),?2?(?（3）无穷多解??(,1,,75,,0,1,3) 22122131,) 31241454（4）无穷多解?1?(?1,?1,1,2,0),?2?(,0,0,,1) 21、（1） （4） 其中k为任意常数。 （6） 其中为任意常数。 10 第 10 页 共 27 页