高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070
其中k为任意常数。
22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换：
于是，只有a=0且b=2时，增广矩
阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当a ?0且b ?2时，原方程组都无解。当a=0，b=2时原
方程组与方程组同解。且其一般解为
其中为任意常数。
23、证：对方程组的增广矩阵做行初等变换，有
A的秩为4的充分必要条件是此时A的秩为4，
因此，原方程组有解的充分必要条件是
，其次，当
时，原方程组与方程组
，
同解，所以他的一般解为
其中k为任意常数。
24、证：由于两个等价的线性无关组所含向量个数是相等的，不妨设基础解系，且
与他等价，则ai（i=1,2，。。。r）可由
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是齐次线性方程组的一个线性表出，从而ai（i=1,2，。。。
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r）也是其次线性方程组的解。 又由题设知
组的任意一个解?也可以由
线性无关，且
可由
线性表出，即证
线性表出，从而其次线性方程也是方程组的一个基础解系。
25、证：由于方程组的系数矩阵的秩为r，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n-r。
设则向量组理即证。
26、证：线性方程组为
有题设，
是该
是方程组的一个基础解系，
的秩仍为n-r，且
也是他的一个极大线性无关组，所以
与
是方程组的任意n-r线性无关的解向量，
是他的一个极大线性无关组，同
等价，再由上题
方程组的t个解，现将代入方程组，得
，所以
仍是方程组的一个解。即证。
第四章 矩阵
1、解：（1）
（2）
其中
，
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2、
（3）采用数学归纳法，可证
事实上，当n=2时有
当n=k-1时归纳假设结论成立，即
结论成立。
当n=k时，有
即证成立。
（4）采用数学归纳法：可证
事实上，当n=2时，有
结论成立。
当n=k-1时，有数学归纳法成立，即
于是当n=k时有
其中
，因而有
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，同理可得
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，
（8）采用数学归纳法可证
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事实上当n=1时，结论显然成立，现在归纳法假设
于是
结论成立 3、
（2）
4、
于是，所以
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故c=0，a=d，b任意，从而所有与A
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