24.1.2 垂直于弦的直径
整体设计
教学目标
知识与技能
1．通过观察试验，理解圆的轴对称性． 2．掌握垂径定理及其推论．
3．会用垂径定理解决有关的证明与计算问题． 过程与方法
1．通过探索圆的对称性及相关性质，培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力．
2．经历探究垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感态度与价值观
1．通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．
2．培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验． 教学重难点
【重点】垂径定理及其应用．
【难点】探索并证明垂径定理，利用垂径定理解决一些实际问题， 教学准备
【教师准备】多媒体课件1～5．
【学生准备】圆形纸片、预习教材P81～83． 教学过程 1、新课导入 导入一：
【课件1】赵州桥（如图所示）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
【过渡语】要解决送个实际问题，我们的知识储备还不够，通过这节课的学习，我们将能解决这类和圆有关的实际问题． 导入二：
复习提问：
1．什么是轴对称图形？
2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 3．你是用什么方法解决上述问题的？（教师引导折叠课前准备的圆形纸片．）
4．直径是圆的对称轴这种说法正确吗？
【师生活动】学生思考后小组合作交流，学生回答后教师点评，指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因，
【课件2】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
【设计意图】通过实际问题导入新课，让学生感受数学来源于生活，又应用于生活，通过复习旧知识和创设动手操作活动，激发学生的学习兴趣，引出本节内容，为本节课的学习进行铺垫． 2、新知构建
【过渡语】我们知道了圆是轴对称图形，并且直径所在直线就是它的对称轴，那么今天我们就利用圆的对称性来探究圆还有哪些性质． 一、共同探究1
思路一
在自己课前准备的纸片上作图． 1．任意作一条弦AA'．
2．过圆心O作弦AA'的垂线，得直径CD交AA'于点M． 3．观察图形，你能找到哪些相等线段？
4．你能证明你的结论吗？写出你的证明过程． 5．如果沿着CD折叠，你能不能得刭相等的弧？
6．图形中的已知条件、结论分别是什么？你能用语言叙述这个命题吗？
【师生活动】让学生独立思考、尝试证明，然后小组合作交流，共同探究结论，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，学生回答问题，并展示自己的证明过程，教师适时点评．
【课件3】证明：连接OA，OA'，在△OAA'中， ∵OA＝OA'， ∴△OAA'是等腰三角形． 又AA'⊥CD，∴AM＝M A'．
即CD是AA'的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线CD对称．
?，AC?'D，?分别与A 把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，AM与A'M重合，AD?＝A?'D，AC?重合．因此AM＝A'M，AD?＝A'C?． A'C?，ACA'? 即直径CD平分弦AA'，并且平分AA'．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
思路二 动手操作：
1．把课前准备的圆形纸片(⊙O)对折，使圆的两半部分重合； 2．把得到的折痕记作CD；
3．在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线折叠，得到新的折痕，两条折痕的交点为M，即垂足为M；
4．将纸片打开，新的折痕与圆交于另一点A'．（如上图所示） 【思考】
1．通过上面的操作，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？ 2．你能不能把刚才的操作当成条件，观察到的结果作为结论，归纳出一个正确的命题？ 【师生活动】互相交流操作结果及思考后得到的结论，教师对学习有困难的学生给予帮助．学生展示后教师点评．
?，AC?'D，A'C?分别与A?重合． 由折叠可得A与A'重合，AD?＝A?'D，AC?＝A'C?． ∴AM＝M A'，AD?，ACA'? 即直径CD平分弦AA'，并且平分AA'． 归纳结论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
[设计意图] 通过学生动手操作、观察、分析、交流，教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质，经历知识的形成过程，培养学生观察能力和归纳概括能力，提高分析问题、解决问题的能力，同时感受圆的对称美． 二、共同探究2
【思考】
1．垂径定理的条件和结论分别是什么？ 条件：①过圆心；②垂直于弦．
结论：③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 2．条件改为：①过圆心；③平分弦．
结论改为：②垂直于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧， 这个命题正确吗？说明理由，
【师生活动】学生口述理由，教师点评． 3．你能用语言叙述这个结论吗？
【学生活动】 尝试用语言叙述结论，教师及时补充，
【课件4】推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？
[设计意图] 把定理的条件和结论用序号标识，加深对定理和推论的理解和记忆，有利于解决易混清的题目，同时培养了学生解决问题的意识和能力． 三、共同探究3
[过渡语] 经过这节课的学习，让我们看看能不能解决新课导入中的实际问题吧． 教材例2讲解 【共同分析】
1．如何根据赵州桥的实物图画出几何图形？ 2．结合所画图形思考：
(1)桥的跨度是弧所对的_______，弧的中点到弦的距离是______，它与所在圆的半径之间的关系是_________．
(2)如何找到弧的中点？（根据垂径定理，过圆心作弦的垂线与弧相交．） (3)如何把圆的半径转化为三角形中的线段？（连接半径，构造直角三角形．）
(4)构造的直角三角形中三边之间有什么特点？（一边是弦长的一半，另两边的长的差等于拱高．）
(5)直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系，如何求另两边长？（设未知数，用勾股定理列方程求解．）
【师生活动】教师引导，师生共同完成思考题后，学生书写解题过程，教师点评．
?表示主桥拱，设AB?所在圆的圆心为O，半径为R．经【课件5】 解：如图所示，用AB过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与盆相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D
是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高． 由题设可知AB＝37 m，CD＝7.23 m．
所以AD＝
11AB＝×37＝18.5(m)， 22OD＝OC－CD＝R－7.23．
在Rt△OAD中，由勾股定理， 得OA2＝AD2＋OD2，
即R2 ＝18.52＋(R－7.23)2． 解得R≈27.3(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m 【思考】
1．在圆中解决有关弦的问题，常作什么辅助线？ 2．在圆中解决有关弦的问题，常用什么方法？ 【师生活动】学生思考回答后，教师归纳总结．
在圆中解决有关弦的问题时，常常过圆心作弦的垂线段作为辅助线，这样可以把垂径定
r?d?()．理和勾股定理结合，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式：
[设计意图]教师引导学生共同分析、解决问题，降低了例题的难度，体会建模思想在数
学中的应用，同时掌握一类题型的解题方法，作辅助线的方法，提高了学生分析问题、解决问题的能力和归纳总结能力．
[知识拓展] 1．由垂径定理可以得到以下结论：
(1)若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧．
(2)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)垂直且平分一条弦的直线过圆心．
综上所述，可以知道在①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧这五个条件中满足其中任意两个，就可以推出另外三项，简称5.2.3定理．
2．利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦，证明垂直，证明一条线段是直径． 3．利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置：在圆中找两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．
4．由于垂直于弦的直径平分弦，因此可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦长（或半径）．
5．圆心到弦的距离叫做弦心距． 三、课堂小结
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
22a22
2．垂径定理、推论及其应用．
3．垂径定理和勾股定理相结合，可将圆的问题转化为直角三角形问题． 4．圆中常作的辅助线：连半径、过圆心作弦的垂线． 四、检测反馈
1．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不—定成立的是 ( )
A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE
? ?＝BDC．OE＝BE D．BC解析：由垂径定理可知B，D均成立；由△OCE≌△ODE 可得A也成立；不一定成立的是OE＝BE．故选C．
2．如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24， 则点O到AB的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC＝BC＝
1AB＝12，在Rt△AOC中，由勾股定理得OC＝132?122＝5． 2故选B
3．如图所示，P为⊙O内一点，OP＝3 cm，⊙O的半径为5 cm，则经过P点的最短弦长为___________，最长弦长为____________．
解析：当弦与OP垂直时，弦最短，连接OA，由勾股定理可得
AP＝52?32＝4(cm)，∵OP⊥AB，∴AB＝2AP＝8cm， 即最短弦长为8 cm过P点经过圆心的弦最长，最长弦长为10 cm．
答案：8 cm 10 cm
4．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D． (1)若AB＝8 cm，OC＝5 cm，求CD的长； (2)若OC＝5 cm，OD＝3 cm，求AB的长； (3)若AB＝8 cm，CD＝2 cm，求⊙O的半径． 解：连接OA,则AO＝OC．
(1) ∵OC⊥AB，∴AD＝在Rt△OAD中，OD＝∴CD＝OC－OD＝2 cm (2)在Rt△OAD中，AD＝1AB＝4 cm， 2AO2?AD2＝52?42＝3(cm) ，
AO2?OD2＝52?32＝4(cm)，
∵OC⊥AB，∴AB＝2AD＝8 cm． (3)设⊙O的半径为r，则OD＝r－2， ∵OC⊥AB，∴AD＝
1AB＝4 cm， 2在Rt△OAD中，OA2＝DO2＋AD2， ∴r2＝(r－2) 2＋42，解得r＝5, ∴⊙O的半径为5 cm 五、板书设计