24.1.2垂直于弦的直径
一、共同探究1 垂径定理： 二、共同探究2 垂径定理的推论： 三、共同探究3 例2
六、布置作业
一、教材作业 【必做题】
教材第89页习题24.1的2，8，9，10，11题． 【选做题】
教材第91页习题24.1的15题． 二、课后作业 【基础巩固】
1．如图所示，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中错误的是（ ）
? ?＝BD A．CE＝DE B．BC C．∠BAC＝∠BAD D．AC>AD
2．如图所示，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图所示，将半径为4 cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A．43cm B．23cm C．3 cm D．2cm 4．如图所示，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．
5．圆是轴对称图形，对称轴是_______，它有_______条对称轴．
6．如图所示，在⊙O中，若AB⊥MN于点C，AB为直径，试填写三个你认为正确的结论：____________，____________，____________．
7．如图所示，已知弧AB，请你利用尺舰作图的方法作出弧AB所在圆的圆心，说出你的作法．
8．如图所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm求⊙O的半径．
9．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶距离为10 cm，则修理人员应准备内径多大的管道？
【能力提升】
?所在圆的圆心，E为CD?10．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝600 m，EF＝100 m，求这段弯路的半径．
11．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB=30°，求弦CD的长．
12．如图所示，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2 cm若水面上升2 cm (EG＝2 cm)，求此时水面宽AB为多少．
【拓展探究】
13.如图所示，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ
移动，已知台风移动的速度为30千米／时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处． （1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间. 【答案与解析】
1．D(解析：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则AB是垂直于弦CD的直径，满
?是正确的，所以A，B正确由△ACE≌△ADE可得?＝BD足垂径定理，因而CE＝DE，BC∠BAC＝∠BAD，所以C正确；根据条件可以得到AB垂直平分CD，因而AC＝AD，所以
D是错误的，故选D）
2．D(解析：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA＝5，由垂径定理知点M是AB的中点，∴AM＝
1AB，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，∴由勾股定理可得AM＝4，∴AB21OA＝2cm，再根据勾股定理得AD2＝8．故选D．）
3.（解析：作OD⊥AB于D，连接OA.根据题意得OD＝＝23cm，根据垂径定理得AB＝43cm.故选A.）
4.3（解析：作OC⊥AB于C，连接OA，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝
11AB＝×8＝4，在Rt22△AOC中，OA＝5，∴OC＝OA2?AC2＝52?42＝3，即圆心O到AB的距离为3.故填3.）
5．直径所在的直线 无数（解析：根据圆的对称性可得结论，注意“圆的直径是圆的对称轴”是错误的，对称轴是直线，直径是线段．）
? （解析：根据垂径定理可得出CM＝CN，??＝BM6.CM＝CN ?AM BNAN＝?AN＝??，答案不唯一.） ?＝BMAM， BN7．解：作法：如图所示，连接AB，任意作一弦AC，然后分别作弦AB，AC的垂直平分线，相交于一点P，则点P即为所求作的弧AB所在圆的圆心。
8.解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB则AC＝BC＝
1AB，∵AB＝8cm，∴BC＝4cm，2在Rt△BOC中，OC＝3cm，∴OB＝42?32＝5（cm）.即⊙O的半径是5cm. 9.解：如图所示，过O作OC⊥AB于C，连接AO，∴AC＝
11AB＝×60＝30（cm），∵CO22＝AO－10，设⊙O的半径为rcm，∴CO为（r－10）cm，在Rt△AOC中，AO2＝AC2＋OC2，
即r2＝302＋（r－10）2，解得r＝50.∴内径为2×50＝100（cm）.∴修理人员应准备内径为100cm的管道.
10.解：连接OC.设这段弯路的半径为Rm，则OF＝OE－EF＝R－100，∵ OE⊥CD，∴CF＝
1×600＝300，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2 ＝3002＋(R－100)2．解得R＝2500.所以这段弯路的半径为500m.
11.解：如图所示，过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF. ∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝
1＝1，在Rt△ODF中，OF＝l，OD＝4，根据勾股2定理得DF＝OD2?OF2＝15，则CD＝2DF＝215.
12.解：连接OA，OC.设⊙O的半径是R，则OG＝R－2，OE＝R－4。OF⊥CD，∴CG
1CD2＝10cm.在Rt△COG中，根据勾股定理，得R2＝102＋（R－2）．解得R＝26.在Rt△AOE中，根据勾股定理，得AE＝262-222＝83（cm）。根据垂径定理，得AB＝163cm. 13．解：(1)∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动．B市位于点P的北偏东75°方向 上，∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，∴∠BPQ＝30°.如图所示，过B作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知PB＝320，则BH＝
1×320＝160，∵160＜200，∴2本次台风会影响B市.（2）如图所示，设台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束，连接BP1，BP2.由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝22002-1602＝240，∴台风影响B市的时间t＝
240＝8（小时）. 30
教学反思
成功之处
本节课以赵州桥这一生活实例引入新课，让学生体会数学在生活中的应用，然后让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆，观察对称性，学生很容易得到圆的对称轴，为后边的学习做好铺垫，探究活动让学生在自己的纸片上面出与直径垂直的弦，并把圆形纸片沿直径对折，问学生会发现什么结论，通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂申去，并培养了学生动 手操作和创新能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是这节课中最成功的地方.
不足之处
本节课知识把课本中赵州桥的问题作为第一个题目让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题，这样可以使学生体会到成功的喜悦，之后再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了．
再教设计
本节课的重点是垂径定理及其应用，可以设计成两个课时，探索垂径定理时给学生充足的时间思考讨论，垂径定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去．第二个课时设计垂径定理的应用，包括实际应用（赵州桥问题）和在几何知识中的综合应用等，体现一题多变．在教学设计中要真正树立以学生的发展为本的教学理念．
教材习题解答
练习（教材第83页）
1.解：在Rt△AOE中，AO＝OE2?AE2＝3?（）＝5（cm）.
2.证明：∵OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，AC＝AB，∴OE＝OD，∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥BA，∴四边形ADOE是矩形，又∵OE＝OD，∴四边形ADOE是正方形. 备课资源
2822教学建议
1．本节课的重点是垂径定理及其应用，难点是探究垂径定理的过程.垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它为线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法．在课时的设计中通过“试验一观察—猜想一证明”的过程，结合动手操作、合作交流、展示点评等教学环节，让学生亲自经历知识的形成过程，这样在课堂上易于突破重难点，同时还培养了学生的动手能力及分析、联想能力，利用圆的轴对称性，还可以对学生进行数学美的教育．
2．学生在生活中经常遇到有关圆的图形，对本节课会比较感兴趣，并且前面已学过轴
对称图形相关知识，同时九年级学生对知识比较好奇，还比较活泼好动、爱表现自己，所以应多设计学生动手操作、展示点评等环节，为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者变为数学学习的主人，在课堂上体验成功的快乐，从而激发学习数学的兴趣．
3．由于垂径定理的题设与结论比较复杂，学生容易混淆遗漏，所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分及证明方法的理解，将定理的探究活动设计成问题串的形式．教师引导学生边操作边思考，可以降低探究的难度.
经典例题
例题：已知等腰三角形ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高．
[解析] 等腰三角形ABC的三个顶点都在圆上，顶点A的位置有两种可能，即点A在弦BC所对的优弧或劣弧上.注意不能只考虑圆心在△ABC内部的情况.
解：作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高，设圆心O到BC的距离为d.依据垂径定理得BD＝4，d2＝52－42＝9，所以d＝3.
当圆心在三角形内部时，如图（1）所示，BC边上的高为5＋3＝8； 当圆心在三角形外部时，如图（2）所示，BC边上的高为5－3＝2.