全排列数：An?n(n?1)(n?2)?2?1?n!（叫做n的阶乘） n
另外，我们规定 0! =1 .
例1．用计算器计算： (1）A10； (2）A18; (3）A18?A13. 解：用计算器可得：
451813
由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，A18?A18?A13．那么，这个结果有没有一般性呢？即
51813Amn?AnnAn?mn?m?n!(n?m)!.
排列数的另一个计算公式：
An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
m?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(n?m)?3?2?1(n?m)(n?m?1)?3?2?1n!(n?m)!?n!(n?m)!=
AnnAn?mn?m.
即 An=
m 例2．解方程：3Ax?2Ax?1?6Ax．
解：由排列数公式得：3x(x?1)(x?2)?2(x?1)x?6x(x?1)，
∵x?3，∴ 3(x?1)(x?2)?2(x?1)?6(x?1)，即3x?17x?10?0， 解得 x?5或x?232223x，∵x?3，且x?N，∴原方程的解为x?5．
x?2?例3．解不等式：A9?6A9．
解：原不等式即
9!(9?x)!?6?9!(11?x)!6，
也就是
1(9?x)!?(11?x)?(10?x)?(9?x)!，化简得：x?21x?104?0，
2解得x?8或x?13，又∵2?x?9，且x?N， 所以，原不等式的解集为?2,3,4,5,6,7?．
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
10
?
例4．求证：（1）An?An?An?m；（2）
nmn?m(2n)!2?n!n?1?3?5?(2n?1)．
证明：（1）An?An?m?mn?mn!(n?m)!(n?m)!?n!?An，∴原式成立 n（2）
(2n)!2?n!nn?2n?(2n?1)?(2n?2)?4?3?2?12?n!n
?2n?(n?1)?2?1?(2n?1)(2n?3)?3?12?n!n!?1?3?(2n?3)(2n?1)n!n
??1?3?5?(2n?1)?右边
∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数An中，m,n?N且m?n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公式An=来证明或化简 m?mmn!(n?m)!，常用
例5．化简：⑴
12!?23!?34!???n?1n!；⑵1?1!?2?2!?3?3!???n?n! ⑴解：原式?1!?12!?12!?13!?13!?14!???1(n?1)!?1n!?1?1n!
⑵提示：由?n?1?!??n?1?n!?n?n!?n!，得n?n!??n?1?!?n!， 原式??n?1?!?1 说明：
n?1n!?1(n?1)!?1n!．
第二课时
例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A14=14×13=182.
例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A5=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
11
32
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这中任选 1 个，有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可的9个数字中任选2个，有A9种选法（图1.2一 5) ．根据分步原理，所求的三位数有
21能是O，因九个数字以从余下乘法计数
A9?A9=9×9×8=648（个） .
解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
12A9?A9?A9=648个．
322
解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中 O 在百位上的排列数是A9，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
32A10-A9=10×9×8-9×8=648.
对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？ 四、课堂练习： 1．若x?332n!3!7，则x? （ ）(A)An (B)An93n?3 (C)A3 (D)An?3
910n32．与A10?A7不等的是 （ ）(A)A10 (B)81A8 (C)10A9 (D)A10 3．若Am?2Am，则m的值为 （ ）(A)5 (B)3 (C)6 (D)7
538优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
12
4．计算：
2A9?3A99!?A10656? ；
(m?1)!Am?1?(m?n)!n?1? ．
5．若2?(m?1)!Am?1m?1?42，则m的解集是 ．
6．（1）已知A10?10?9???5，那么m? ； （2）已知9!?362880，那么A9= ； （3）已知An?56，那么n? ； （4）已知An?7An?4，那么n? ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. ?2,3,4,5,6? 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 m7222教学反思：
排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
第三课时
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A5?5?4?3?60，所以，共有60种不同的送法 3（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5?5?5?125，所以，共有125种不同的送法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算 例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A3种；第二类用2面旗表示的信号有A3种；第三类用3面旗表示的信号有
12A3种，由分类计数原理，所求的信号种数是：A3?A3?A3?3?3?2?3?2?1?15，
例3．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A4种方法；
43123优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
13
第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A4种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数 4解：由分步计数原理，分配方案共有N?A4?A4?576（种）例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：用分步计数原理：
所求的三位数的个数是：A9?A9?9?9?8?648 4412解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A9个，个位数字是0的三位数有A9个，十位数字是0的三位数有A9个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数
是
9232：
A9?A?A?648． 93解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中以0为排头的排列数为A9，因此符合条件的三位数的个数是A10?A9?648-A9．
说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符32322合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏 第四课时
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列A7＝5040．
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A6=720． （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A2种；
第二步 余下的5名同学进行全排列有A5种，所以，共有A2?A5=240种排列方法 762525（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种方法，所以一共有A5A5＝2400种排列方法 2525解法2：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
14
665