例7．求证：Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2123123nn?1．
n证（法一）倒序相加：设S?Cn?2Cn?3Cn???nCn ① 又∵S?nCn?(n?1)Cn∵Cn?Cnrn?r0nn?1?(n?2)Cn1n?1n?2???2Cn?Cn ②
21，∴Cn?Cn,Cn?Cnn,?，
n由①+②得：2S?nCn?Cn?Cn???Cn∴S??012?，
3nn?112?n?2?n?2nn?1，即Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?212．
（法二）：左边各组合数的通项为
rCn?r?rn!r!(n?r)!23?n?(n?1)!(r?1)!(n?r)!n?nCn?1，
012n?1r?1∴ Cn?2Cn?3Cn???nCn?nCn?1?Cn?1?Cn?2???Cn?1例8．在(2x?3y)101???n?2n?1．
的展开式中,求:
①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x?3y中的系数无关. 解：设(2x?3y)10r?a0x10?a1xy?a2xy982???a10y10(*),
?各项系数和即为a0?a1???a10,奇数项系数和为a0?a2??a1,偶数项系数和为
a1?a3?a5???a9,x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9,x的偶次项系数和a0?a2?a4???a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C10?C10???C10?2②令x?y?1,各项系数和为(2?3)0210011010.
10?(?1)?1.
9③奇数项的二项式系数和为C10?C10???C10?2, 偶数项的二项式系数和为C10?C10???C10?2.
④设(2x?3y)?a0x?a1xy?a2xy???a10y,
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101098210139910
令x?y?1,得到a0?a1?a2???a10?1?(1),
令x?1,y??1(或x??1,y?1)得a0?a1?a2?a3???a10?510?(2) (1)+(2)得2(a0?a2???a10)?1?510, ∴奇数项的系数和为1?5;
21010(1)-(2)得2(a1?a3???a9)?1?5∴偶数项的系数和为1?5210,
.
1?5210⑤x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9?;
10x的偶次项系数和为a0?a2?a4???a10?1?5.
2点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知(3x?x)22nn的展开式的系数和比(3x?1)的展开式的系数和大992,求(2x?1)2n的展开式中:①二项式系
x数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意2①(2x?2n?2?992,解得n?5.
n1x)的展开式中第6项的二项式系数最大,
5510即T6?T5?1?C10?(2x)?(?1x)??8064.
5②设第r?1项的系数的绝对值最大, 则Tr?1?C10?(2x)r10?r?(?1x)?(?1)?C10?2rrr10?r?x10?2r
r10?rr?110?r?1rr?1???C10?2?11?r?2r?C10?2?C10?2C10∴?,得?,即?
r10?rr?110?r?1rr?1???C10?2?2(r?1)?10?r?C10?2?2C10?C10 ∴8?r?11,∴r?3,故系数的绝对值最大的是第4项 332例10．已知：(x3?3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 2n解：令x?1，则展开式中各项系数和为(1?3)?2nn2n，
又展开式中二项式系数和为2，
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∴22nn?2?992，n?5．
（1）∵n?5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
2253226352223223∴T3?C(x3)(3x)?90x，T4?C(x3)(3x)?270x2，
10?4rrr53（2）设展开式中第r?1项系数最大，则Tr?1?C(x3)rrr?1r?1?79?3C5?3C5∴???r?，∴r?4，
rrr?1r?122??3C5?3C5r55?r(3x)?3Cx2r，
226243即展开式中第5项系数最大，T5?C(x3)(3x)?405x例11．已知Sn?2n45．
?Cn21n?1?Cn22n?2???Cnn?1?2?1(n?N?)，
求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn?4n?1变形，化为含有因数64的多项式 ∵Sn?2?Cn2n1n?1?Cn22n?2???Cnn?1?2?1?(2?1)?3，
*nn∴Sn?4n?1?3?4n?1，∵n为偶数，∴设n?2k（k?N）， ∴Sn?4n?1?30kn2k?8k?1?(8?1)?8k?1
1k?1k?Ck8?Ck80k1???Ckk?18?1?8k?1
2 ?(Ck8?C88k?1???Ck)8 （?） ，
2当k=1时，Sn?4n?1?0显然能被64整除， 当k?2时，（?）式能被64整除，
所以，当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 三、课堂练习： 1．
?x?1?4?x?1?15展开式中x的系数为 ，各项系数之和为 ．
2233nn42．多项式f(x)?Cn(x?1)?Cn(x?1)?Cn(x?1)???Cn(x?1)（n?6）的展开式中，x的系数为 3．若二项式(3x?2612x)（n?N）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ） 3n? A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上
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5．在(1?x)的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1?x)等于（ ） A.0 B.pq C.p?q D.p?q
2222n2n6．求和：
1?a1?aC??0n1?a21?aC?1n1?a31?anC?n?12n1?a41?aC?????1?3nn1?an?11?aCn．
n7．求证：当n?N且n?2时，3?210?n?2?．
8．求?2?x?的展开式中系数最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：f3. B 4. C 5. D 6. ?a?1?a?7. (略) 8. T3?1?15360x
3?x??
x?1?n?6? nn?1四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
1??1622n1．已知(a?1)展开式中的各项系数的和等于?的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大x?(a?1)?x??52n5的项等于54，求a的值(a?R)答案：a??3
132．设?1?x?5?3?2x?9?a0?x?1?14?a1?x?1????a13?x?1??a14
求：① a0?a1???a14 ②a1?a3???a13．答案：①3012345679?3?19683； ②
899?35?2?9963 3．求值：2C9?C9?2C9?C9?2C9?C9?2C9?C9?2C9?C9．答案：2?256 4．设f(x)?(x?x?1)(2x?1)，试求f(x)的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 8296答案：（1）3?729；
6（2）所有偶次项的系数和为七、教学反思：
3?126?364；所有奇次项的系数和为
3?126?365 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应
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有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用(a+b)n=ana来化简计算 an,an?an来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成
r01n0n?ana1n?1b??anarn?rb??anb现在的问题就是要找an的表达形式.为此我们要采用抽象分析法
rnn1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x，有x?a0?a1(x?2)?a2(x?2)?a3(x?2)，则a2的值为（B）
A．3 B．6 C．9 D．12
3232??22．（2007年湖北卷）如果?3x?? 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(B) 3x??A.3 B.5 C.6 D.10
n(x)【分析】：Tr?1?Cn3r2nr?(?)2rx3?C3n(2)?rnr?rnrxr(2?r)3?nr3?C(2)nrn?r?x25?，
2n?5r?0，n?5r2（r?2,4,?）。nnmin?5.
?3．（2007年江西卷）已知??Ａ．4
Ｂ．5
3? x??展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ C ）3x?
n
Ｃ．6
Ｄ．7
?21?4．（2007年全国卷I）?x??的展开式中，常数项为15，则n?（ D ）
x??A．3
B．4
C．5
8D．6
1?2?5．（2007年全国卷Ⅱ）(1?2x)?x??的展开式中常数项为 ?42 ．（用数字作答）
x??51??226．（2007年天津卷）若?x?的二项展开式中的系数为，则a? 2 （用数字作答）． x?2ax??7．（2007年重庆卷）若(x?61x)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
nA10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x3+
1x)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行
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