湖南理工职业技术学院 《应用数学》经典案例 模块二 导数及其应用案例 一．导数—瞬时变化率
案例2.1 [低频跨导] 具有PN节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为I?5U2，求电压U??2v时的低频跨导．
??2解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在V伏时的变化率为
I?lim?V?0?I?V?lim?V?05(?2??V)?5(?2)?V22?10（v）．
?f(T) 案例2.2 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T吨铜矿的花费为Cf?(2000)?100意味着什么？
元，
解: 对于
f?(2000)?dCdT|T?2000?100．
dCdT
因C的单位为元，T的单位为t，所以的单位为元/t，f?(2000)?100表明当已
有2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元． 二、导数的运算
案例2.3 [电流] 电路中某点处的电流i是通过该点处的电量q关于时间
t的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为q(t)?t?t3．求
(1) 电流函数i(t)； (2)
t?3时的电流是多少？
(3) 什么时候电流为49．
解: （1）i(t)?dqdt?(t?t)??(t)??(t)??3t?1；
332 (2)
i(3)?(3t?1)|t?3?3?3?1?2822；
(3) 解方程i(t)?电流为49．
3t?1?492，得t??4 （舍去负值），即当t?4时，
案例2.4 [速度]已知某物体做直线运动，运动方程为s(单位：米)，t (单位：秒) ．求在t 解: 物体运动的速度为 v?dsdt?((t?1)(t?1))?2?(t?1)(t?1)，s2
?3秒时物体的速度？
?(t?1)?(t?1)?(t?1)(t?1)?22
?2t(t?1)?(t?1)?1?3t?2t?1，
22
t?3秒时的速度为 v|t?3?(3t?2t?1)|t?3?34(m/s).
2案例2.5 [生命科学] 癌肿瘤的体积. 癌肿瘤的球形体积V可以表示成
V(r)?43?r，
3 其中r是肿瘤的半径（单位：厘米）.
（1） 求体积关于半径的变化率. （2） 求体积在r=1.2厘米的变化率.
?? 解 （1）V?(r)?3?43?r?4??r
22 （这正是球面面积.在积分学中可说明理由的.） （2）V?(1.2)?4??1.2?5.76??18（平方厘米）.
2 案例2.6 [电压的变化率] 一个电阻为3?，可变电阻为R的电路中的电压由下式给出：V?6R?25R?3．求在R?7?时电压关于可变电阻R的变化率．
解: 电压V关于可变电阻R的变化率为
6R?25R?3V??（?）
?6(R?3)?(6R?25)(R?3)2
7?-2（R?3），
在R?7?时电压关于可变电阻R的变化率为
7102V?R?7????0.07.
案例2.7 [并联电阻] 当电流通过两个并联电阻r1,r2时，总电阻由下式给出：
1R?1r1?1r2,求R对r1的变化率．假定r2是常量．
解: 由
1R?1r1?1r2知R?r1r2r1?r2，因为r2是常数，所以
dR
dr1?（）?dr1r1?r2dr1r2r（r1?r2)?r1r22（r1?r2）2?2（r1?r2）r22.
案例2.8 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t小
时后冰箱的温度为T?2t0.05t?1?20 (单位：C0)．问冰箱温度T关于时间t的变化
率是多少？
解: 冰箱温度T关于时间t的变化率为
dTdt?(2t0.05t?1?20)?
?(2t0.05t?1)??(20)?
?2(0.05t?1)?2t?0.05(0.05t?1)2?0
?2(0.05t?1)2 (0C/小时).
案例2.9 [放射物的衰减] 放射性元素碳-14（1g）的衰减由下式给出：
Q?e?0.000121t，其中Q是t年后碳-14存余的数量(单位：g)．问碳-14的衰减速度（单
位：g/a）是多少？
解: 碳-14的衰减速度v为
v?dQdt?(e?0.000121t)?
?e?0.000121t（?0.000121t)?
??0.000121e?0.000121t(g/a) ．
案例2.10 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度L（单位：cm）取决于气温H（单位：0C），而气温H又取决于时间t（单位：h），如果气温每升高10C，钢棒长度增加2cm，而每隔1小时，气温上升30C，问钢棒长度关于时间的增加有多快？
解: 已知长度对气温的变化率
dHdt0dLdH?2cm/0C．气温对时间的变化率为
dLdt?3C/h．要求长度对时间的变化率，即求．
将L看作H的函数，H看作t的函数，由复合函数求导的链式法则得
dLdtdLdHdHdt???2?3?6(cm/h)．
因而，长度关于时间的增长率为6cm/h．
案例2.11 [充电速度] 对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为
uC?E(1?e?tRC),求电容器的充电速度
duCdt（如图所示）.
解: 利用复合函数的求导法则，有
duCdt?tRC?tRC?(E(1?e))??E((1?e))?
tRC?E(0?(e?tRC)?)?E(0?e?tRC(?tRC)?)?E(0?e?(?1RC))?ERC?teRC
案例2.12[电流与电压的关系] 在电容器两端加正弦电流电压
uC?Umsin(?t??)，求电流i.
解: i?CduCdt?C[Umsin(?t??)]?
?C[Umcos(?t??)(?t??)?]?C[Um?cos(?t??)]
??CUmsin(?t????2)
?Imsin(?t??)
其中?CUm?Im是电流的峰值（最大值），称振幅，初相?????2．
从而可知，电容器上电流与电压有下列关系： （1）电流i与电压uC是同频率的正弦波；
?2（2）电流i比电压uC相位提前
；
（3）电压峰值与电流峰值之比为