解: 弓件A在x2?1处y?|x?1?3x|x?1?3，y??|x?1?6x|x?1?6，其曲率为
K1?y??3?(1,1)63?31050?0.1897?1?y?2?2102；
弓件B在x?1处，y?|x?1?2x|x?1?2，y??|x?1?2，其曲率为
K2?y??3?(1,1)23?0.1789?1? 所以，在xy?2?252，
?1处弓件A的弯曲程度大些．
案例2.33 [弧形工件的加工原理]设某工件内表面的截线为抛物线
y?0.4x2，现在要用砂轮磨削其内表面， 问用直径多大的砂轮才比较合适？(提
示：在磨削弧形工件时，为了不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，
砂轮的半径应不大于弧形工件上各点处曲率半径中的最小值.已知抛物线在其顶点处的曲率最大.)
解:由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此，只要求出抛物线y在其顶点O(0,0)处的曲率半径.由y?? 将其代入曲率计算公式，得 K0.8x，y???0.8，有 y?|x?0?0?0.4x0.82，y??|x?0?.
?0.8，
1K 因而求得抛物线顶点处的曲率半径 ???1.25
所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.5单位长.
案例2.34 [加速度] 在离水面高度为h（米）的岸上，有人用绳子拉船靠岸.假定绳子长为l（米），船位于离岸壁s(米)处，试问：当收绳子的速度为v0（m/s）时，船的速度和加速度各是多少？
解 l、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得
l2?h?s22 (1)
两端对时间t求导，得 2ldldt?0?2sdsdt
（2）
由此得 ldldt?sdsdt l 为绳长，按速度定义，驶逐渐靠近岸壁，因而
dsdtdldt即为收绳速度 v0，船只能沿s线在水面上行
应为船速v，将它们代人（2）式得船速
?lsv0 （3）
v利用（1）式消去l得
v?h?ss22v0 （m/s） (4)
(4)中h、v0均为常数，只有s是变量.按加速度定义
dvds???(? a?2dtdsdtsdvh222h?sv0)v
将（4）式代入上式得 a??hv0s322 (m/s) （5）
2（这里的负号表明加速度的方向与x轴正向相反.）
由（4）与（5）式知，船速与船的加速度均与船的位置有关，它们是变化的，当船靠岸时，船速与加速度都不断增大. 五、函数的微分及其应用
案例2.35 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正立方形金属体的边长为
2m，当金属受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？
解: 体积的微分为dV将x?2?(x)?dx?3x?x，
32，?x?0.01代入上式，得在x?2，?x3?0.01处的微分
dV|x?2?x?0.01?3?2?0.01?0.12 (m2)，
在x?2，?x?0.01处体积的改变量为
?V|x?2?x?0.01?(2?0.01)?2?0.1200633 (m3)，
由此可见，?V|x?2?x?0.01?dV|x?2?x?0.01.
案例2.36 [电压改变量] 设有一电阻负载R?25?，现负载功率P从400W
变到401W，求负载两端电压U的改变量(如下图所示).
UR2 解: 由电学知，负载功率P?,即U?RP，故
dU?dRPdPdP?RdPdP?R21PdP?12RPdP，
因为R?25，P?400，?P?1，所以电压U的改变量为
?U?dU?225400?1?0.125 （V）.
案例2.37 [收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部
出售，收入函数为R?36x?x220, 其中x为公司一天的产量，如果公司每天的产
量从250增加到260，请估计公司每天收入的增加量．
解: 公司每天产量的增加量为?xx2?10，用dR估计每天的收入增加量为
?R?dR?(36x?20)??x|?x?10?360?x．
案例2.38 [放大电路] 某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍
数为A，闭环电路的放大倍数为Af，则它们二者有函数关系AfA?104?A1?0.01A．当
时，由于受环境温度变化的影响，A变化了10%，求Af的变化量是多少？
Af的相对变化量又为多少？
解:由于A?104时，Af?100，用dAf近似计算?Af，得
?Af?dAf?(Af)??A，
其中 (Af)??(A1?0.01A)??1(1?0.01A)2．
Af的变化量约为 ?Af|A?104?A?0.1A?1(1?0.01A)2?A|A?104?A?0.1A?0.098，
Af的相对变化量约为
?AfAf?0.098100?9.8?10?4.
案例2.39 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬季，摆长
因热涨冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周期为T问这只钟每秒大约快还是慢多少？
lg?2?lg，其中g?980cm/s2，
解: 因为钟摆的周期为1秒，所以有1?2?g(2?)2，解之得摆的原长为
l?，又摆长的改变量为?l??0.01厘米，用dT近似计算?T，得
?T?dT?dTdl?l??1gl?l
g(2?)2，
将l?，?l??0.01代入上式得
?T?dT??1gl?l?g??g(2?)2?(?0.01)
?2?g2?(?0.01)??0.0002
这就是说，由于摆长缩短了0.01厘米，钟摆的周期相应地缩短了约0.0002秒． 案例2.40 [绝对误差] 设已测得一根圆柱的直径为43cm，并已知在测量中绝对误差不超过0.2cm，试用此数据计算圆柱的横截面面积所引起的绝对误差与相对误差．
（注： 若某个量的准确值为x，它的近似值为x*，称|?x|?|差．当x?0x?x|*为x*的绝对误
时，称|x?xx**|为x*的相对误差．）
解: 圆柱的横截面的直径D截面面积的近似值为
A?14?43cm，直径的绝对误差|?D|?0.2，圆柱的横
?D2?14??43?462.25?2
由D的测量误差?D所引起的面积A的计算误差?A，可用微分dA来近似计算，即 ?A?dA?12?D??D?4.3? （cm）
2所求绝对误差为 |?A|?|dA|?4.3?（cm2）
1所求相对误差为 |?AA|?|dAA|?2?D|?D|14?2|?D|D?2?0.243?0.93%.
?D2