令
dpdv?0，得v?80(单位：km/h) ．由实际问题知，此时发动机的效率最
41 (%)
大，最大效率为p(80)?案例2.22 [最大容积] 设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相同的小正方形，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值．
解：设切去的小正方形的边长为x分米，则盒子的容积为
V?(8?2x)(5?2x)x(0?x?52)，求导
V???2(5?2x)x?2(8?2x)x?(8?2x)(5?2x)
?4(x?1)(3x?10)．
10352 令V??0，得驻点x1点只有x?1,x2? (x2?，应舍去)，则符合题意的驻
?1．由于开口盒子容积的最大值一定存在，
而且在(0,52)内取得，而V??0在(0,52)内只有一个根x?1，故此点为所
求的最大值点．所以切去的小正方形的边长为1分米时，做成的开口盒子容积最大，最大容积是18立方分米．
案例2.23 [油管铺设路线的设计] 要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送到石油罐装点，如图所示．炼油厂附近有条宽 2.5km的河，罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处．如果在水中铺设管道的费用为6万元/km，在河边铺设
管道的费用为4万元/km．试在河边找一点P，使管道铺设费低．
解: 设P点距炼油厂的距离为x，管道铺设费为y，由题意有
y?4x?6?(10?x)?2.522 (x2?0)，
y??(4x)??6?[(10?x)?2.5]?2(10?x)?2.5222 ?4?6(10?x)(10?x)?2.522．
令y??0，得驻点x?10?1020，舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费
?7.764一定存在，且在(0,10)内取得，所以最小值点为x为y?51.18km，最低的管道铺设费
万元．
案例2.24 [最大输出功率] 设在电路中，电源电动势为E，内阻为r (E，r均为常量)，问负载电阻R多大时，输出功率P最大？
解: 消耗在电阻R上的功率为P定律知I?ER?r?IR2，其中I是回路中的电流，由欧姆
，所以P?ER(R?r)22, (0?R???).
要使P最大，应使
dPdRdPdR?0，即
?E(R?r)?2E(R?r)R(R?r)4222
?E(r?R)(R?r)32?0，
解之得 R?r，
2 此 时， P?E4R ．
由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在(0,??)内部取得，所以必在P的唯一驻点R?r处取得．因此，当R?r时，输出功率最大为P?E24R．
案例2.25 [最高血压] 对于剂量为x立方厘米的某种药物，所引起的血压B可近似地表示成B(x)?剂量时出现最高血压.
解：因为 B(x)? 所以
0.05x?0.3x230.05x?0.3x,0?x?0.16，求最高血压，并且求取多大
23
B?(x)?0.x1?0.x 92 令B?(x)?0得唯一驻点
即当取剂量为
19x?19，此时
B(19)?0.0002 676立方厘米时，出现最高血压0.0002676.
案例2.26 [利润的最值] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.瓶子的制造成本是0.8?r2（分），其中r是瓶子的半径，单位是厘米.假设每售出1立方厘米的酒，
商人可获利0.2分.他能制造的瓶子的最大半径为6厘米，问
（1） 瓶子半径为多大时，能使每瓶酒获利最大？
（2） 瓶子半径为多大时，每瓶酒获利最小？ 解 瓶子半径为r，每瓶酒能获利
p(r)?43?r?0.?23?0r.8?2r2?0.8?r(，0?)r?633
p?(r)?0?.8r(?2r 2)0当r=2时，p??0.r?(0,2)，p??；r?(2,6),p??0.p(r)只有一个极值点，
所以r=2是极小值点，当r=6时，p(r)可达最大值.
四、高阶导数及其应用
案例2.27 [刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足S动，求汽车在t?4秒时的速度和加速度．
?19.2t?0.4t3．假设汽车作直线运
解: 汽车刹车后的速度为 v?dSdt?(19.2t?0.4t)??19.2?1.2t32 (m/s)，
汽车刹车后的加速度为 a?dvdt?(19.2?1.2t)???2.4t2（m/s2），
t?4s时，汽车的速度为 v?(19.2?1.2t)|t?4?0（m/s），
2 t?4s时，汽车的加速度为 a??2.4t|t?4??9.6（m/s2）.
案例2.28 [水量增加量] 如果一个容器中的水量W随着时间的增加而增加，但增加量越来越小， 则
dWdt、
dWdt22的正、负符号分别为什么？
解: 因为水量W随着时间的增加而增加，所以越来越小，所以
dWdt22dWdt?0，但因为增加量
?0．
案例2.29 [通货膨涨] 设函数p(t)表示某种产品在时刻t的价格，则在通货膨涨期间，p(t)将迅速增加．请用p(t)的导数描述以下叙述： (1)通货膨涨仍然存在； (2)通货膨涨率正在下降；
(3)在不久的将来，物价将稳定下来． 解: (1) p?(t)?0 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在；
(2) p?(t)?0表示通货膨涨存在，p??(t)?0表示通货膨涨率正在下降；
(3) p?(t)?0 表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来．
案例2.30 [股票曲线] 假设p(t)代表在时刻t某公司的股票价格，请根据以下叙述判定p(t)的一阶、二阶导数的正、负号．
（a） (b)
(1) 股票价格上升得越来越快； (2) 股票价格接近最低点；
(3) 图(a)所示为某种股票某天的价格走势曲线，请说明该股票当天的走势． 解: （1）股票价格上升得越来越快，一方面说明股票价格在上升，即
p?(t)?0，另一方面说明上升的速度也是单调增加的，即p??(t)?0，如图(b)所示．
（2）股票价格接近最低点时，应满足p?(t)?0．
（3）从图(a)所示的某股票在某天的价格走势曲线可以看出，此曲线是单调上升且为凸的，即p?(t)?0，且p??(t)?0.
这说明该股票当日的价格上升得越来越慢．
案例2.31 [桥梁的曲率] 若某一桥梁的桥面设计为抛物线，其方程为
y?x2，求它在点M（1,1）处的曲率．
解: 由y??公式，得
2x，y???2，得y?|x?1?2x|x?1?2，y??|x?1?2|x?1?2，代入曲率
K?y??3?(1,1)23?25
?1?y?2?25225
案例2.32 [比较弧形弓件的弯曲程度] 设有两个弧形弓件A、B，弓件A满足曲线方程y的弯曲程度．
?x3，弓件B满足曲线方程y?x2，试比较此两个弓件在x?1处