§1.1.1不等式的基本性质
☆学习目标： 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质; 2. 掌握比较两个实数大小的一般步骤 ?知识情景：
1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 2. 实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：
a?b?a?b0 a?b?a?b0a?b?a?b0
结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 3. 不等式的基本性质：
10. 对称性：a?b? ； 20. 传递性：a?b,b?c? ； 30. 同加性：a?b? ；
推论：同加性：a?b,c?d? ；
30. 同乘性：a?b,c?0? ，a?b,c?0? ； 推论1：同乘性：a?b?0,c?d?0? ； 推论2：乘方性：a?b?0,n?N?? ； 推论3：开方性：a?b?0,n?N?? ；
推论4：可倒性：a?b?0? .
☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)． ☆案例学习： 例1已知a?b?0,c?0，求证：cca?b ．
例2若a?0?b??a，c?d?0，则下列命题中能成立的个数是( )
?1?ad?bc；?2?ad?bc?0；?3?a?c?b?d；?4?a?d?c??b?d?c?
A.1 B.2 C. 3 D.4.
例3 ?1?若x?y?0，试比较?x2?y2??x?y?与?x2?y2??x?y?的大小；
?2?设a?0，b?0，且a?b，试比较aabb与abba的大小.
例4 若f(x)?ax2?c满足?4≤f(1)≤?1，?1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
例5 已知a?b?0，d?c?0，用不等式性质证明：abc?d
选修4-5练习 §1.1.1不等式的基本性质练习 1.（07届高三北京海淀第二学期期末）若a?b?0，则下列结论不正确的是( )
A.a2?b2 B.ab?2b C.ba?ab?2 D.a?b?a?b
2. 设a,b?(??,0)，则“a?b”是“a?11a?b?b”成立的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列不等式：其中正确的个数为( )
?1? x2?3?2x(x?R)， ?2?a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?R)，
?3? a2?b2?2(a?b?1)．
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在下列命题中真命题的个数有( ) ① 若a?b?0,c?d?0,那么a?b;
dc② ②已知a,b,c都是正数，并且a?b,则a?mb?m?ab；
③ ③2?3x?4的最大值是2?43; ④若a,b?R，则a2x?b2?5?2?2a?b?。A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.（06上海春）若a、b、c?R,a?b，则下列不等式成立的是( )
A.11?ab B.a?b C.22ab?c2?1c2?1 30. 同乘性：a?b,c?0? ，a?b,c?0? ；
D.a|c|?b|c|
7.（06江西）若a?0，b?0，则不等式?b?1x?a等价于( )
A.?1b?x?0或0?x?1a B.
?1a?x?1b
C.x??1或x?1ab D.x??1或x?1ba
8.（08北京文）若集合A?{x|?2?x?3}，B?{x|x??1或x?4}，则集合AB等于
A．?x|x?3或x?4? B．?x|?1?x?3?
C．?x|3?x?4?
D．?x|?2?x??1?
9. 给出下列条件①1?a?b；②0?a?b?1；③0?a?1?b．其中，
log11bb?logab?logab成立的充分条件是 （填所有可能的条件的序号）
10. 已知a,b,c满足：a、b、c?R?，a2?b2?c2，当n?N，n?2时，比较cn与an?bn 的大小. §1.1.2基本不等式学案（1）
☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; 2. 初步掌握不等式证明的方法 ?知识情景：
1. 不等式的基本性质：
10
. 对称性：a?b? ； 20. 传递性：a?b,b?c? ； 30. 同加性：a?b? ；
推论：同加性：a?b,c?d? ；
推论1：同乘性：a?b?0,c?d?0? ； 推论2：乘方性：a?b?0,n?N?? ；
推论3：开方性：a?b?0,n?N?? ； 推论4：可倒性：a?b?0? .
2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)． ?建构新知： 1． 定理1 如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab. 当且仅当a?b时, 等号成立.
证明: ∵a2?b2?2ab?(a?b)2?0,当且仅当a?b时, 等号成立. ∴a2?b2?2ab,当且仅当a?b时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果a,b?R, 那么a?b2?ab. 当且仅当a?b时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
20. 如何证明基本不等式?
30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?
40. 怎样用语言表述基本不等式?
☆案例学习：
例1在a?0，b?0的条件下，三个结论：其中正确的个数是（ ） ①2aba?ba?baa?b?2，②2?b22?2， ③b2a?a2b?a?b，
A．0 B．1
C．2 D．3
例2设a,b?R，求证：(1) ??a?b?2a2?b2?2???2 ; (2) a2?b2?c2?ab?bc?ac．
例3 (1) 设x?0,y?0且x?2y?1，求1?1xy的最小值. ；
(2) 设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是___________. (3) 若正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是
例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有
45cm2 的面 积，
问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
§1.1.3基本不等式学案(2) 三个正数的算术-几何平均不等式 ☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式;
2. 理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3. 初步掌握不等式证明和应用 ?知识情景：
1．定理1 如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.
当且仅当a?b时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果a,b?R?, 那么a?b2?ab.
当且仅当a?b时, 等号成立.
推论10. 两个正数的算术平均数a?b2, 几何平均数ab, 平方平均数 ,调
和平均数
2aba?b，
从小到大的排列是:
☆探究：类比基本不等式：
如果a,b?R?,
那么a?b2?ab.当且仅当a?b时, 等号成立.
如果a,b,c?R?,那么 .当且仅当 时, 等号成立.
?建构新知：
问题：已知a,b,c?R?, 求证：a3?b3?c3?3abc.当且仅当a?b?c时, 等号成立. 证明: ∵a3?b3?c3?3abc?
定理3 如果a,b,c?R?, 那么
a?b?c3?3abc, 当且仅当a?b?c时, 等号成立. 定理3的文字表述:
推论 对于n个正数a1,a2,,an, 它们的
即 当且仅当a?b?c时, 等号成立.
☆案例学习：
例1已知x,y,z?R?, 求证： (1)
(x?y?z)3?27xyz; (2)
(xy?yz?zx)(yx?zxy?z)?9;
(3)(x?y?z)(x2?y2?z2)?9xyz．
例2用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？
例3 求函数y?2x2?3x,(x?0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解
法.
解一:y?2x2?3x?2x2?1x?1x?332x2?1x?2x?334. ∴y3min?34．
解
二
:
y?2x2?33x?22x2?x?26x当
2x2?3x即
3x?122时,
3ymin?26?122?23312?26324．
正解:
§1.1.2基本不等式练习
若a?0,b?0,a?b?1，则(1a2?1)(1b2?1)的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
2. 若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为（ ）
A．3-1 B． 3+1 C．
23+2 D． 23-2 3. 若关于x的不等式(1?k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）A.2∈M，0∈M； B.2?M，0?M； C.2∈M，0?M； D.2?M，0∈M
24. 若?4?x?1，则
x?2x?22x?2的最小值为（ ）
A.2 B.37 C.?1 D.1
5. 函数y?2x2?4x,(x?R?)的最小值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
6. 已知x?3y?2?0,则3x?27y?1的最小值是 （ ） A. 339 B. 1?22 C. 6 D. 7 7. 求下列函数的最值
（1）x?0时, 求y?6x2?3x的最小值．
（2）设x?[1x9,27]，求y?log327?log3(3x)的最大值．
（3）若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值．
（4）若a?b?0，求a?1b(a?b)的最小值为.
8. 某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，求每次进货量应多少
2.2.3含绝对值不等式的解法学案
学习目标：
1. 由绝对值的几何意义掌握不等式x?a和x>a(a>0)的解集 2. 了解其它类型含绝对值不等式的解法；
3. 渗透由特殊到一般的思想方法，寻求事物的一般规律。 学习重点：
简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：
等价转化和数形结合思想方法的运用 学习过程
一、知识链接:
1．x的几何意义： 实数x在数轴上对应的点A到原点O的距离,如图所示：
AO? x
A 0 2．练习：2?;?3? ; 0?.
正数的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ,
1.
?,x?0即： x????,x?0 ???,x?03．到原点距离为3的点对应的数是，因此,若x?3,则x?.
4．对任意实数x,恒有x成立。
二、探究新知
-31.如图所示，
03
结合图形请说出满足x?3的x的取值范围 ；满足x?3的x的取值范围 ； 2. 写出下列不等式的解集：
（1）不等式x?1的解集为 ； （2）不等式x?5的解集为 ； （3）不等式x?8的解集为 ； （4）不等式x?3的解集为 。 3．不等式x?a(a?0)的解集为 ； 不等式x?a(a?0)的解集为 。 三、例题讲解
例1．解下列不等式：
1. |x|?2 2. |x|?13
四、反馈练习
1.填空：（）不等式1x?4的解集是；
（2）不等式x?9的解集是； （3）不等式2x?10的解集是；
2.2.3含绝对值不等式的解法学案 学习目标：
1由绝对值的几何意义掌握不等式x?a和x>a(a>0)的解集
2了解其它类型含绝对值不等式的解法；
3渗透由特殊到一般的思想方法，寻求事物的一般规律。 学习重点：
简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：
等价转化和数形结合思想方法的运用
含有绝对值的不等式的解法总结
|a x＋b|＜c (c＞0) 的解法是
先化不等式组 ?c＜a x＋b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
|a x＋b|＞c（c＞0）的解法是
先化不等式组a x＋b＞c 或a x＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
例1．解下列不等式：
（1）2x?3?7； （2）2x?1?5?0；
2.解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集：
(1)x?5;(2)x?2?5;