3、已知a?b?0，求证：na?nb（n?N且n?1）.
9、设n为大于1的自然数，求证11n?1?n?2?1n?3???12n?12.
10、若n是自然数，求证112?122?132???1n2?2.
选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式
☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题 ?知识情景：
1. 柯西主要贡献简介：
柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析
家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 . 当且仅当 时, 等号成立. 变式10. 若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd； 变式20. 若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；
变式30.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：
(x?x212)?(y1?y22)?(x2)?(y22?x32?y3)?
如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几
何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：
例1. 已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?3， a2?2b2?3c2?6d2?5. 试求a的最
值
? 例2 在实数集内 解方程??x2?y2?z2?9 ?4??8x?6y?24y?39
例3 设P是三角形ABC内的一点，
x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆
的半径， 证明x?y?z?12Ra2?b2?c2
例4 (证明恒等式) 已知a1?b2?b1?a2?1, 求证：a2?b2?1。
§3.2.1排序不等式 姓名 ☆学习目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;
2. 体会运用经典不等式的一般思想方法 ?知识情景： 面积和最大（或最小）？？？
1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,bi?R(i?1,2,…,n)， 设OAi?ai,OBj?bj(i,j?1,2, 则： . 当且仅当 时, 等号成立. (若ai?0时，约定bi?0，i?1,2,…,n). 变式1. 设ai?R,bi?0(i?1,2,0
,n)，由已知条件，得 ?an,b?1b?2b?3?bn
a1?a2?a3? 因为?AOBij的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为 代
数
问
题
：
设c1,c2,c,n是数组b1b,2(?ai)ai?,n), 则：?bi?1?bi . in22,bn的任何一个排列,, 则
当且仅当 时, 等号成立. 变式2. 设ai?bi?0(i?1,2,0
2ai(?ai). ,n), 则：??i?1bi?aibinS?a1c1?a2c2??ancn
何时取最大（或最小）值？ 我们把S?a1c1?a2c2??ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和.
当且仅当b1?b2???bn时,等号成立.
变式30. (积分形式)设f(x)与g(x)都在[a,b]可积， ,A,AB1,B2,jB,nB,B1,A,A,nA2ibbb 则??f(x)g(x)dx???f2(x)dx??g2(x)dx，
??aa?a?2 其中, S1?a1bn?a2bn?1?a3bn?2? S2?a1b1?a2b2?a3b3??anb1称为 序和.
?anbn称为 序和.这样的三个和大小关系如何?
☆ 新知建构：
1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:
当且仅当f(x)?t?g(x)时,等号成立. 2. 探究 如图， 设?AOB??，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2, OB边依次取取n个点B1,B2,,An，
设a1?a2??an,b1?b2??bn
,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边
c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排
某个点Bj连接，得到?AOBij，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的?AOBij 不同，问：OA边上的点与OB边上的点 如何搭配，才能使n个三角形的
列(有 个不同的排列). 所以, S?a1c1?a2c2? 有有限个(? 和最小值.
?ancn的不同值也只 个).其中必有最大值
考察S?a1c1?a2c2??ancn,
∴ S1?S?S?S2.
??? 10.若c1?b1,则应有某ck?1b,且c1(?k1)ck,对换c,c得
定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1?a2?1k?an,b1?b2??bn为两组数,
S??a1ck??akc1??ancn c1,c2,c,,任意一个排列, 则 n是b1b,2,bn的S??S??????0.
?S?S .
说明将S?a1c1?a2c2??ancn中第一项换为a1b1后, 和式变 . 20.若c1?b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变 .
如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 .
且不难知道, 最小和数只能是 . 因此 反序和乱序和顺序和 即 S1SS2. 30
.容易发现, 当a1?a2??an,或b1?b2??bn时, S1SS2;
如果a1,a2,,an,不全相等, b1,b2,,bn也不全相等. 则?i,j(1?i,j?n)和
l,k(1?l,k?n)
使ai?aj,bl?bk,考察和数
S??S2?(iaib?ajbj?allb?)akbk(?ia?bkaj?lbla?ib ) S???S2?(aiib?aj?bjla?lb)ak?bk(?ialb?ajbk?laib ) ∵ S???S??(ai?aj)(bk?bl)0?S?S??
a1bn?a2bn??1a3?nb?2?na?ba1c1?ac2?2?ancn?a1b1?ab2?2ab3?3?anbn. 当且仅当a1?a2??an,或b1?b2??bn时, 等号成立.
☆ 排序不等式的应用：
例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数， 求证:1?1?1?12an23?n?aaa31?22?32??n2.
例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要
的时间分别是4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
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