2017年初中数学竞赛辅导综合试题
一、选择题
1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一
a2b2c2??个公共根，则的值为（ ） bccaabA、0 B、1
2
C、2 D、3
a2?b22、设a,b是整数，方程x+ax+b=0的一根是4?23，则的值为（ ）
abA、2 B、0 C、-2 D、-1 3、正实数a1,a2,….，a2011满足a1+a2+…..+a2011=1,P=3a1?1?3a2?1?.....?3a2011?1，则（ ）
Y 设
A、p>2012 B、p=2012
D C、p<2012 D、p与2012的大小关系不确定 B 4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交
kA O 于A、B两点，与反比例函数y?的图象相交于C、
F xE C D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂
足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF(4题) 与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；
k④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个
2N D C 数有（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5 5、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD
M
上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（ ） A、2?1
B、22?2
C、22
D、22?1
A (5题)
B X
二、填空题（每题5分，共25分）
)1?201，1则6、已知实数x，y满足(x?x2?2011)(y?y2?2013x2-2y2+3x-3y-2012=
7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且
abc11114?????,则的b?cc?aa?ba?bb?cc?a17值是
L
8、 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的
1
A Y B C D M · X
O E
两部分，则直线L的函数表达式是
9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在 BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交 AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=32，则MN
B
M A
N D
的长为 E G F
C 10、已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以
点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，
以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为
三、解答题
11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分） 12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF>BC，取线段AE的中点M 。
（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)
（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分） F A D F A D
M M
B B C E C (图2) E （图1）
2
13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所Y(元) B 示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段C 30 BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时
D 120 A 间x（周）之间的函数关系式为Z=?（x?8)2?12(1
8≤x≤16且x为整数)
（1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）
11 16 X(周) 1 6 （2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分） （3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）
14.如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y=上，直线l1：y=﹣x+2，直线
l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．
（1）求双曲线C及直线l2的解析式； （2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；
（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=
．）
3
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH． （1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HG?HB的值．
16.已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF． （i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且
=
=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，
求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
4
答案
1.D 解：
ax2+bx+c=0 (1) bx2+cx+a=0 (2) cx2+ax+b=0 (3)
(1) - (2) ，得(a-b)x2+(b-c)x+(c-a) = 0
(a-b)x2-[(a-b)-(a-c)]x+(c-a )= 0 x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1) = 0 (x-1)[x(a-b)-(c-a)] = 0
x=1是方程的解，又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根，则此根为x=1 同理，由(1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1，代入(1)，得
a+b+c=0 c=-(a+b)
a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3????bccaababcabc?a?b?a?b?3ab?3ab?3ab(a?b)3abc???3abcabcabc333322
2.C
解：x?4?23??3?1?2?3?1
把x?3?1代入原方程得
4?23?a3?a?b?04?(a?2)3?a?b?0?3?1+(3?1)a?b?0
?2
因为因a,b是整数,所以 ?a?b?4也是整数, 要使4?(a?2)3?a?b?0必须使3的系数为0 则有: a?2?0， 得a?2,
?a?b?4?0，得b??2
5