第一章预备知识
一、定义域
1. 已知f(x)的定义域为(??,0)，求f(lnx)的定义域。答案：(0,1)
x3?3x2?x?32. 求f(x)?的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。
x2?x?6答案：???,?3????3,2???2,??? 二、判断两个函数是否相同？
1. f(x)?lgx2，g(x)?2lgx是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，f(x)和g(x)是否相同？答案：都不相同
(1) f(x)?x2?1x?1,g(x)?x?1(2) f(x)?x,g(x)?sin?arcsinx? (3) f(x)?x,g(x)?elnx三、奇偶性
f(x)?ex?e?x1. 判断2的奇偶性。答案：奇函数
四、有界性
?x?D, ?K?0，使f(x)?K，则f(x)在D上有界。
有界函数既有上界，又有下界。
1. f(x)?ln(x?1)在(1,2)内是否有界？答案：无界
2. y?x2x21?x2是否有界？答案：有界，因为
1?x2?1 五、周期性
1. 下列哪个不是周期函数（C）。
A．y?sin?x, ??0 B．y?2
C．y?xtanx
注意：y?C是周期函数，但它没有最小正周期。
六、复合函数
1. 已知f??(x)?，求f(x)
例：已知f?1???x???x?1?x2, (x?0)，求f(x) 解1：
1
D．y?sinx?cosx
??1??11?1?f???x?1?2?1???1?2?1?????1xxx?????? x1f(x)?1?x2?1x??解2： 令
1111111?y，x?，f(y)??1?2，f(x)??1?2?1?x2?1 xyxxxyy2??1?11?1??22. 设f?x???x?2，求f(x)提示：x2?2??x???2
x?xx?x??3. 设f(sinx)?cos2x?1，求f(cosx)提示：先求出f(x)
sin2x4. 设f(sinx)?cos2x?tanx，求f(x)提示：f(sinx)?1?2sinx? 21?sinx2222七、函数图形
熟记y?arcsinx,y?arccosx,y?arctanx,y?arccotx的函数图形。
第二章极限与连续
八、重要概念
1. 收敛数列必有界。 2. 有界数列不一定收敛。 3. 无界数列必发散。
4. 单调有界数列极限一定存在。
5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。
九、无穷小的比较
1. x?0时，下列哪个与x是等价无穷小（A）。 A．tanx
B．sinx?x C．sinx?x D．3x
2十、求极限
1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
limarctanxx?cosx11xcosx?0，lim?1，limsinx?0，limx2sin?0，lim?0
x??x??x??xx?0x???1?x2xxx2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式
3x2?23?提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。 例如：lim2x??4x?3x?54
2
3. 出现根号，首先想到有理化
x???lim?x?2?x?lim?x????2?0
x?2?x1322lim1?x1?x1?x?x3 ?lim??x?11?3xx?11?1?x2x补充练习： （1）limn???n?1?n?n
（2）limx?1（3）lim（5）limx?0x?????x?2??x?1??x?
3?x?1?x 2x?1（4）limxx????x2?1?x
?1?tanx?1?sinx 3x4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限
11sin2x1x?limx?例：lim?
x??2x?1x??1x(2x?1)2xx2sin作业：P49
7 （1）~（3）
5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限
例：lim??x?1??2???lim1????2x??x2?1x???x?1???7 （4）~（6）
2x2?x2?1?2x2?22x?1?e?2
作业：P49 6.
0??、???、00、1?、?0，可以使用洛必达法则 、、0?0?5 （1）~（8）
作业：P99
7. 分子或分母出现变上限函数
提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数
1例：lim3x?0xsinx21? ? 0sintdt?limx?03x23x2sinx补充练习： （1）limx?0? 0arcsintdt22xsinxx 0 （2）limx?0?x 0etdtx1t2
（3）
??sintdt?limx?0?x 0tsintdt23
?（4）limx?1x 1edtx?1
十一、连续与间断
任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。
分段函数可能的间断点是区间的分界点。
3
若limf(x)?f(x0)，则f(x)在x0处连续，否则间断。
x?x0第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。
?ex?e?x?2, x?0?21. 设f(x)??在x?0处连续，求k?? x?k, x?0?ex?e?x?2ex?e?xex?e?x?lim?lim?1 解：limf(x)?lim2x?0x?0x?0x?0x2x2? f(x)在x?0处连续，? k?1
2. 作业：P49 4、10 3. 补充练习：
P50
11、12
??1 x??1?x2 0?x?1?2（1）研究函数的连续性：f(x)??x ?1?x?1，f(x)??
?2?x 1?x?2?1 x?1?（2）确定常数a, b，使下列函数连续：
?ln?1?3x? x?0?bx??ex x?0?x2 x?0?f(x)??，f(x)??，f(x)??2 x?0
?x?a x?0?a?x x?0?sinax? x?0x??（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：
?2x?1 x?1x2?4x35 y?2, y?, y?cos, y??4?5x x?1x?5x?6sinxx?十二、闭区间上连续函数的性质
零点定理：f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f(?)?0 1. 补充练习：
（1）证明方程x?sinx?2至少有一个不超过3的正实根。
5（2）证明方程x?3x?1?0在(1,2)内至少有一个实根。 （3）证明方程x?e?2在(0,2)内至少有一个实根。
x3?2至少有一个小于1的正根。 （4）证明方程x?
x
第三章导数与微分
十三、重要概念
1. 可导必连续，但连续不一定可导。
4
2. 可导必可微，可微必可导。
3. 函数在x?x0处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。
十四、导数的定义
作业：P75 2
十五、对于分段函数，讨论分界点是否可导？
例：f(x)?x在x?0处，连续但不可导 1. 作业：P75 4、5
2. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数
?x2 x?0f(x)??答案：在x?0处连续、不可导
?x x?01??xarctan x?0答案：在x?0处连续、不可导 f(x)??x??0 x?0?sin(x?1) x?1?答案：在x?1处不连续、不可导 f(x)??x?1??0 x?13. 设f(x)???ax?b x?0，为使f(x)在x?0处连续且可导，a,b应取什么值？
cosx x?0?答案：a?0,b?1
十六、求导数
1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数 作业：P75
6、10
2. 利用对数求导法求导数 作业：P76
13
3. 求隐函数的导数 作业：P76
12
4. 求由参数方程所确定的函数的导数 作业：P76
14
5. 求高阶导数 作业：P75
11
6. 求切线方程、法线方程
利用导数求出切线的斜率k，则法线的斜率为?1 k5