例：求曲线y?x?cosx在x?
?2
处的切线方程。
解：y'?1?sinx切线斜率k?y'切线方程：y?作业：P75
3
x??2?????2，切线经过点?,?
?22??????2?x?? 22??7. 求变上限函数的导数 作业：P156 4
十七、求微分
y?f(x), dy?f'(x)dx
1. y?ln1??x，dy?y'dx??111??
1?x2x2x?x??2. y?xarctanx?解：
1ln(1?x2)?ln3，求dy 2x2x??arctanx22 1?x2(1?x)dy?arctanxdxy'?arctanx?作业：P76
15
十八、利用微分进行近似计算
公式：f?x0??x??f?x0??f'?x0??x 作业：P76
16
第四章中值定理与导数的应用
十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式
定理：设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，则在?a,b?内至少存在一点?，使得
f'????不等式。
f?b??f?a?
b?a证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数f?x?（2）叙述函数f?x?满足定理条件（3）根据定理证明出
1. 作业：P99 4
6
2. 补充练习：证明下列不等式： （1）当a?b?0时，3bx2?a?b??a3?b3?3a2?a?b?
（2）arctana?arctanb?a?b （3）当x?1时，e?xe
二十、单调性与极值
1. 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点）（2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论f'?x?在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间 作业：P99
6
2. 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）（2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论
f'?x?在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值
例：确定f(x)?2x?作业：P100 9
8的单调区间及极值点 x二十一、求闭区间上连续函数的最值
步骤：（1）求出所有可能的极值点（2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值（3）上述各值中最大的为max，最小的为min 作业：P100 10 （1）
二十二、最值的应用问题
步骤：（1）写出目标函数f?x?（2）求出可能的极值点x0（应用问题只有一个可能的极值点）（3）分析是最大值问题还是最小值问题。如果是最大值问题，则写出f\?x0??0，并且最大值max?f?x0?；如果是最小值问题，则写出f\?x0??0，并且最小值min?f?x0? 作业：P100 13
补充作业：从斜边长l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
第五章不定积分
二十三、换元法、分部积分法求不定积分
1. 换元法
例：x4?xdx 解1（第一类换元）：
3111u122222?x4?xdx??2?4?xd(4?x) 4?x?u ?2?udu??2?1?C??3?4?x??C
?1221?12?2解2（第二类换元）：
7
222x4?xdx x?2sint 2sint?2cost?2costdt?8costsintdt??8cos????tdcostcost4?x8?4?x2??8??C cost? ??323??2323?122??C???4?x??C?3?3
作业：P125 6 2. 分部积分法 例：
P126 7
1121x22?xln(1?x)dx?2?ln(1?x)dx?2xln(1?x)?2?1?xdx 211?1?12xx1?x2ln(1?x)???x?1?dx?xln(1?x)???ln(1?x)?C?22?1?x?2422作业：P126 8
第六章定积分及其应用
二十四、利用P132推论3估计积分值：
作业：P156 2
二十五、证明题
（1）设f(?x)??f(x)，证明：（2）设f(?x)?f(x)，证明：证（1）：
a0a?aa?af(x)dx?0
a0??af(x)dx?2?f(x)dx
??af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?a0000aa?aaaa00? ?f(x)dx x??t ??f(?t)dt??f(t)dt???f(t)dt t?x ??f(x)dx ? ?f(x)dx?0?a证（2）：
?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?a0000aa?aaaa000a? ?f(x)dx x??t ??f(?t)dt???f(t)dt??f(t)dt t?x ?f(x)dx ? ?f(x)dx?2?f(x)dx?a0a二十六、计算定积分
例：
11arcsinx111arcsinxx2?arcsinxx21dx?dx?dx?dx?dx???11?x2??11?x2??11?x2??1??11?x2??11?x2dx 1?x1?1?arctanx?1?0?2??1作业：P157 5、8、10
8
二十七、广义积分
例：
??bb11?2dx?limdx?lim(lnx)dlnx22??eeb???b???x(lnx)x(lnx)b?e?1??1??lim???lim??1???1?b???b???lnxlnb??e??作业：P158 17
二十八、求平面图形的面积，求旋转体的体积
2例：求平面上曲线y?x,y?x以及x?2所围图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
作业：P157 11 P158 13
第二章极限与连续
二十九、重要概念
1. 收敛数列必有界。 2. 有界数列不一定收敛。 3. 无界数列必发散。
4. 单调有界数列极限一定存在。
5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。
三十、无穷小的比较
1. x?0时，下列哪个与x是等价无穷小（A）。 A．tanx
B．sinx?x C．sinx?x D．3x
2三十一、求极限
1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。
limarctanxx?cosx11xcosx?0，lim?1，limsinx?0，limx2sin?0，lim?0
x??x??x??xx?0x???1?x2xxx2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式
3x2?23?提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。 例如：lim2x??4x?3x?543. 出现根号，首先想到有理化
x???lim?x?2?x?lim?x????2?0
x?2?x1322lim
1?x1?x1?x?x3 ?lim??x?11?3xx?11?1?x2x9
补充练习：
（1）limn???n?1?n?n
（2）limx?1（3）lim（5）limx?0x?????x?2??x?1??x?
3?x?1?x 2x?1（4）limxx????x2?1?x
?1?tanx?1?sinx
x34. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限
11sinx21xx例：lim?lim??
x??2x?1x??1x(2x?1)2xx2sin作业：P49
7 （1）~（3）
5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限
?x2?1??2??例：lim?2?lim1????2x??x?1x???x?1???作业：P49 6.
7 （4）~（6）
x2?x2?1?2x2?22x?1?e?2
0??、???、00、1?、?0，可以使用洛必达法则 、、0?0?5 （1）~（8）
作业：P99
7. 分子或分母出现变上限函数
提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数
1例：lim3x?0xsinx21? ? 0sintdt?limx?03x23x2sinx补充练习： （1）limx?0? 0arcsintdt2xsinxx 0 （2）limx?0?x 0etdtx1t2
（3）
??limx?0sintdt23?2?x 0tsintdt
?（4）limx?1x 1edtx?1
三十二、连续与间断
任何初等函数在其定义域范围内都是连续的。
分段函数可能的间断点是区间的分界点。
若limf(x)?f(x0)，则f(x)在x0处连续，否则间断。
x?x0第一类间断点：左、右极限都存在的间断点，进一步还可细分为可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点：不属于第一类的间断点，进一步还可细分为无穷间断点和振荡间断点。
?ex?e?x?2, x?0?1. 设f(x)??在x?0处连续，求k?? x2?k, x?0?
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