ex?e?x?2ex?e?xex?e?x?lim?lim?1 解：limf(x)?lim2x?0x?0x?0x?0x2x2? f(x)在x?0处连续，? k?1
2. 作业：P49 4、10 3. 补充练习：
P50
11、12
??1 x??1?x2 0?x?1?2（1）研究函数的连续性：f(x)??x ?1?x?1，f(x)??
?2?x 1?x?2?1 x?1?（2）确定常数a, b，使下列函数连续：
?ln?1?3x? x?0?bx??ex x?0?x2 x?0?f(x)??，f(x)??，f(x)??2 x?0
?x?a x?0?a?x x?0?sinax? x?0x??（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型：
?2x?1 x?1x2?4x5 y?2, y?, y?cos3, y??x?5x?6sinxx?4?5x x?1三十三、闭区间上连续函数的性质
零点定理：f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f(?)?0 1. 补充练习：
（1）证明方程x?sinx?2至少有一个不超过3的正实根。 （2）证明方程x?3x?1?0在(1,2)内至少有一个实根。 （3）证明方程x?e?2在(0,2)内至少有一个实根。
x53?2至少有一个小于1的正根。 （4）证明方程x?
x第三章导数与微分
三十四、重要概念
1. 可导必连续，但连续不一定可导。 2. 可导必可微，可微必可导。
3. 函数在x?x0处可导的充要条件是左、右导数存在并且相等。
三十五、导数的定义
作业：P75 2
三十六、对于分段函数，讨论分界点是否可导？
例：f(x)?x在x?0处，连续但不可导 1. 作业：P75 4、5
11
2. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数
?x2 x?0f(x)??答案：在x?0处连续、不可导
?x x?01?xarctan x?0?答案：在x?0处连续、不可导 f(x)??x??0 x?0?sin(x?1) x?1?答案：在x?1处不连续、不可导 f(x)??x?1??0 x?13. 设f(x)???ax?b x?0，为使f(x)在x?0处连续且可导，a,b应取什么值？
?cosx x?0答案：a?0,b?1
三十七、求导数
1. 求函数的导数，特别是复合函数的导数 作业：P75
6、10
2. 利用对数求导法求导数 作业：P76
13
3. 求隐函数的导数 作业：P76
12
4. 求由参数方程所确定的函数的导数 作业：P76
14
5. 求高阶导数 作业：P75
11
6. 求切线方程、法线方程
利用导数求出切线的斜率k，则法线的斜率为?例：求曲线y?x?cosx在x?
1 k?2
处的切线方程。
解：y'?1?sinx切线斜率k?y'切线方程：y?作业：P75
3
x??2?????2，切线经过点?,?
?22??????2?x?? 22??7. 求变上限函数的导数 作业：P156 4
12
三十八、求微分
y?f(x), dy?f'(x)dx
1. y?ln1??x，dy?y'dx??111??
1?x2x2x?x??2. y?xarctanx?解：
1ln(1?x2)?ln3，求dy 2x2x??arctanx 1?x22(1?x2)dy?arctanxdxy'?arctanx?作业：P76
15
三十九、利用微分进行近似计算
公式：f?x0??x??f?x0??f'?x0??x 作业：P76
16
第四章中值定理与导数的应用
四十、利用拉格朗日中值定理证明不等式
定理：设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，则在?a,b?内至少存在一点?，使得
f'????不等式。
f?b??f?a?
b?a证明步骤：（1）根据待证的不等式设函数f?x?（2）叙述函数f?x?满足定理条件（3）根据定理证明出
1. 作业：P99 4
2. 补充练习：证明下列不等式： （1）当a?b?0时，3bx2?a?b??a3?b3?3a2?a?b?
（2）arctana?arctanb?a?b （3）当x?1时，e?xe
四十一、单调性与极值
1. 单调性：（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点）（2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论f'?x?在各子区间上的符号，从而确定单调性与单调区间 作业：P99
6
2. 极值：（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）（2）将定义域分成若干个子区间，列表讨论
f'?x?在各子区间上的符号，从而确定单调性与极值
例：确定f(x)?2x?
8的单调区间及极值点 x13
作业：P100 9
四十二、求闭区间上连续函数的最值
步骤：（1）求出所有可能的极值点（2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值（3）上述各值中最大的为max，最小的为min 作业：P100 10 （1）
四十三、最值的应用问题
步骤：（1）写出目标函数f?x?（2）求出可能的极值点x0（应用问题只有一个可能的极值点）（3）分析是最大值问题还是最小值问题。如果是最大值问题，则写出f\?x0??0，并且最大值max?f?x0?；如果是最小值问题，则写出f\?x0??0，并且最小值min?f?x0? 作业：P100 13
补充作业：从斜边长l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
第五章不定积分
四十四、换元法、分部积分法求不定积分
1. 换元法
例：x4?xdx 解1（第一类换元）：
3111u122222?x4?xdx??2?4?xd(4?x) 4?x?u ?2?udu??2?1?C??3?4?x??C
?1221?12?2解2（第二类换元）：
?x4?x2dx x?2sint ?2sint?2cost?2costdt?8?cos2tsintdt??8?cos2tdcost323?122??C???4?x??C?3?3cost4?x8?4?x2??8??C cost? ??323??2作业：P125 6 2. 分部积分法 例：
P126
7
1121x22?xln(1?x)dx?2?ln(1?x)dx?2xln(1?x)?2?1?xdx 211?1?12xx1?x2ln(1?x)???x?1?dx?xln(1?x)???ln(1?x)?C?22?1?x?2422作业：P126 8
第六章定积分及其应用
四十五、利用P132推论3估计积分值：
作业：P156 2
14
四十六、证明题
（1）设f(?x)??f(x)，证明：（2）设f(?x)?f(x)，证明：证（1）：
a0a?aa?af(x)dx?0
a0??af(x)dx?2?f(x)dx
??af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?a0000aa?aaaa00? ?f(x)dx x??t ??f(?t)dt??f(t)dt???f(t)dt t?x ??f(x)dx ? ?f(x)dx?0?a证（2）：
?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?a0000aa?aaaa000a? ?f(x)dx x??t ??f(?t)dt???f(t)dt??f(t)dt t?x ?f(x)dx ? ?f(x)dx?2?f(x)dx?a0a四十七、计算定积分
例：
11arcsinx111arcsinxx2?arcsinxx21dx?dx?dx?dx?dx???11?x2??11?x2??11?x2??1??11?x2??11?x2dx 1?x1?1?arctanx?1?0?2??1作业：P157 5、8、10
四十八、广义积分
例：
??bb11dx?lim?dx?lim?(lnx)?2dlnx22b???ex(lnx)b???ex(lnx)b?e?1??1??lim???lim??1???1?b???b????lnx?e?lnb?作业：P158 17
四十九、求平面图形的面积，求旋转体的体积
2例：求平面上曲线y?x,y?x以及x?2所围图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
作业：P157 11 P158 13
15