a21?c2又由点M在准线上，得?2，故?2，∴c?1从而a?2 ccx2所以椭圆方程为?y2?1
2t2t2（2）以OM为直径的圆的方程为(x?1)?(y?)??1
242t2t?1 其圆心为(1，)，半径r?42因为以OM为直径的圆被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x?4y?5?0的距离d?r2?1?所以
3?2t?55?t，解得t?4 2t 2所以圆的方程为(x?1)2?(y?2)2?5 （3）方法一：由平几知：ON2?OK?OM 直线OM：y?t2x，直线FN：y??(x?1) 2tt?y?x?t2t2t244?22?2?2 由?得xK?2∴ON?1?xK?1?xM?(1?)?22444t?4t?4?y??(x?1)?t?所以线段ON的长为定值2 ??????????????方法二：设N(x0，y0)，则FN(x0?1，y0)，OM?(2，t)，MN?(x0?2，y0?t)，????ON?(x0，y0)，
?????????∵FN?OM，∴2(x0?1)?ty0?0，∴2x0?ty0?2
?????????22又∵MN?ON，∴x0(x0?2)?y0(y0?t)?0，∴x0?y0?2x0?ty0?2
22所以ON?x0?y0?2为定值.
18.解：方法一：如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
0)，kBC?tan?，所以直线BC的方程为y?tan??(x?10)，即因为B(10，xtan??y?10tan??0.
t)（t?0）设圆心E(0，，由圆E与直线BC相切，
得100?80sin???t?10tan?1?tan2??t?10tan?， 1cos?所以EO?t?100?90sin?
cos?100(sin??cos2?9)10
令f(?)?100?90sin??，??(0，)，则f?(?)?cos?29?，?0?(0，)，列表如下： 102(0，?0) ? 设sin?0?? f?(?) f(?) ?0 0 (?0，) 2?? 增 减 极小值 所以当???0，即sin??答：当sin??9时，f(?)取最小值. 109时，立柱EO最矮. 10方法二：如图所示，延长EO，CB交于点G，过点E作EH?BC于H，
则EH?R?100?80sin?，?HEG??OBG??CBF??
在Rt△EHG中，EG?R100?80sin? ?cos?cos?在Rt△OBG中，OG?OBtan??10tan? 所以EO?EG?OG?100?90sin?
cos?1??S2?pa1?q，?3?2p?q，?p?19.解：（1）由题意，知?即?解之得?2
S?pS?q，3?q?3p?3p?q，?2?3??q?21（2）由（1）知，Sn?1?Sn?2，①
21当n≥2时，Sn?Sn?1?2，②
21①?②得，an?1≥an（n≥2）
2111又a2?a1，所以an?1?an（n?N*），所以{an}是首项为2，公比为的等比数列，所以
222an?12n?2
2(1?（3）由（2）得，Sn?1)m2n?4(1?1)，由Sn?m?2，得 1Sn?1?m2m?12n1?21)?m2n(4?m)?42m2m2n?，即n， ?m12(4?m)?22m?12?14(1?n?1)?m24(1?即
21?m，因为2m?1?0,所以2n(4?m)?2，
2(4?m)?22?1n所以m?4，且2?2m(4?m)?2m?1?4，（*） 因为m?N*，所以m?1或2或3
当m?1时，由（*）得，2?2n?3?8，所以n?1； 当m?2时，由（*）得，2?2n?2?12，所以n?1或2； 当m?3时，由（*）得2?2n?20，所以n?2或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为： (1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，2)，(3，3)，(3，4)
?]，f2(x)?1，x?[0，?]. 20.解：（1）由题意可得：f1(x)?cosx，x?[0，2?1?x，x?[?1，0)1，x?[?1，1)?x2，x?[?1，?0)?（2）f1(x)??，f2(x)??2，f2(x)?f1(x)??1，x?[0， 1)0，x?[0，4]x，x?[1，4]???24]?x，x?[1，0]时，1?x2≤k(x?1)，∴k≥1?x，k≥2； 当x?[?1，1)时，1≤k(x?1)，∴k≥当x?(0，21，∴k≥1； x?116x2当x?[1，4]时，x≤k(x?1)，∴k≥，k≥
5x?116综上所述，k≥.即存在k?4，使得f(x)是[?1，4]上的“4阶收缩函数”.
5)?0得x?0或x?2.函数f(x)的变化情况如下：（3）f?(x)??3x2?6x??3x(x?2)，令f?(x
x f?(x) f(x) (??，0) ? ? 0 (0，2) 2 0 (2，??) ? ? 0 0 ? ? 4 令f(x)?0得x?0或x?3.
b]上单调递增，（1）当b≤2时，f(x)在[0，因此，f2(x)?f(x)??x3?3x2，f1(x)?f(0)?0.b]上的“二阶收缩函数”因为f(x)??x3?3x2是[0，，所以， b]恒成立； ①f2(x)?f1(x)≤2(x?0)，对x?[0，b]，使得f2(x)?f1(x)?(x?0)成立. ②存在x?[0，b]恒成立，由?x3?3x2≤2x解得0≤x≤1或x≥2. ①即：?x3?3x2≤2x对x?[0，b]恒成立，需且只需0?b≤1. 要使?x3?3x2≤2x对x?[0，b]，使得x(x2?3x?1)?0成立. ②即：存在x?[0，由x(x2?3x?1)?0解得x?0或综合①②可得3?5?b≤1 23?53?53?5?x?.所以，只需b?. 2222]上单调递增，b]上单调递减，（2）当2?b≤3时，f(x)在[0，在[2，因此，f2(x)?f(2)?4，
f1(x)?f(0)?0，f2(x)?f1(x)?4，x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)≤2(x?0)不成
立，
2]上单调递增，在[2，b]上单调递减，因此，f2(x)?f(2)?4，（3）当b?3时，f(x)在[0，f1(x)?f(b)?0，f2(x)?f1(x)?4?f(b)?4，x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)≤2(x?0)不成立.
综合（1）（2）（3）可得：3?5?b≤1 2数学附加题
21.解：（1）f(?)?(??1)(??6)?8??2?5??14?(??7)(??2) 由f(?)?0可得：?1?7，?2??2.
?(7?1)x?4y?0?1?由?可得属于?1?7的一个特征向量??
?2???2x?(7?6)y?0?(?2?1)x?4y?0?4?由?可得属于?1??2的一个特征向量为??
??1???2x?(?2?6)y?02)，半径r1?22， （2）C1：(x?2)2?(y?2)2?8，圆心C1(2，C2：(x?1)2?(y?1)2?a2，圆心C2(?1，?1)，边境r2?|a|.
圆心距C1C2?32，
两圆外切时，C1C2?r1?r2?22?a?32，a??2； 两圆内切时，C1C2?r1?r2?22?a?32，a??52. 综上，a??2，或a??52. 33221122.解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i?4，5，则P(A5)??????，
44332833221332212331112P(A4)?????(1?)?C1?(1?)????C?(1?)???? 2244332443323344231111所以该网民至少购买4种商品的概率为P(A5)?P(A4)???
8324答:该网民至少购买4种商品的概率为
11. 4（2）随机变量?的可能取值为0，1，2，3，4，5
33211 P(??0)?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?443228832212331112P(??1)?C2?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)+C2?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)4332334421332211, ??(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?244332883322122331P(??2)???(1?)?(1?)?(1?)+??(1?)?(1?)?(1?)4433233442321471312 ?C2?(1?)?C2?(1?)?(1?)?44332288P(??3)?1?P(??0，2，4，5)?1?1P(??4)?P(A4)?
3P(??5)?P(A5)?1 8111471197, ?????28828828838288所以：随机变量?的概率分布为：
? P 0 1 11 2882 47 2883 4 1 35 1 28897 2881 811147971110?1??2??3??4??5??. 288288288288383ak?p23.解：（1）由(k?1)ak?1?p(k?p)ak得k?1?p?，k?1，2，3，?，p?1
akk?1故E??0?即
aa24?14?28??4???6，a2??6a1??6；3??4???，a3?16 a12a233a44?3??4???1，a4??16； a34（2）由(k?1)ak?1?p(k?p)ak得即
ak?1k?p?p?，k?1，2，3，?，p?1 akk?1a2ap?1a3p?2p?(k?1)??p?，??p?，?，k??p? a12a23ak?1kak(p?1)(p?2)(p?3)?(p?k?1)?(?p)k?1? a1k!以上各式相乘得∴ak?(?p)k?1?(p?1)(p?2)(p?3)?(p?k?1)
k!(p?1)!(?p)k?1p!k?1?(?p)???
k!(p?k)!pk!(p?k)!1kCp(?p)k，k?1，2，3，?，p 2pk??(?p)k?2?Cp??∴a1?a2?a3???ap ??11112233pp???(1?p)p?1?C(?p)?C(?p)?C(?p)???C(?p)??pppp2?2??? pp