（2）若点P在坐标轴上，且P到直线y=﹣x+4的距离为，求符合条件的P点坐
标．
【答案】（1）N（0，4），M（3，0）；（2）符合条件的点P的坐标是（0，0）或（6，0）或（0，8）．
【解析】试题分析：（1）根据函数解析式，分别令x=0、y=0可以求得点N、M在坐标轴上的坐标；
（2）利用面积法来求点P的坐标．注意要分点P的坐标为（x，0）或（0，y）两种情况进行讨论．
试题解析：（1）令x=0，则y=4； 令y=0，则-x+4=0， 解得x=3．
所以，N（0，4），M（3，0）；
（2）由（1）知，N（0，4），M（3，0），则MN=5． 设P（x，0）或P（0，y）．
①当点P的坐标为（x，0）时，MN?解得 x=0或x=6，
即P（0，0）或P（6，0）；
②当点P的坐标为（0，y）时，MN?解得y=0或y=8，
即P（0，0）或P（0，8）；
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，0）或（6，0）或（0，8）． 考点：一次函数图象上点的坐标特征．
8.如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
=|y-4|?OM，即×5×
=|y-4|×3，
=|x-3|?ON，即×5×
=|x-3|×4，
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单
位长度？
【答案】（1）y=﹣x+2x+8，顶点D（1，9）； （2）存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8
）；（3）向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．
2
【解析】试题分析：（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；
（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；
（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度． 试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4）． 把C（0，8）代入，得a=-1． ∴y=-x+2x+8=-（x-1）+9， 顶点D（1，9）；
（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）． 由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8， 它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）． 则PH=|10-t|，点P到CD的距离为又∴
2
2
2
． ．
． ）．
平方并整理得：t+20t-92=0，解之得t=-10±8∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10±8（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x+2x+8+m（m＞0）． 当x=-8时，y=-72+m． 当x=4时，y=m．
2
∴-72+m≤0或m≤12． ∴0＜m≤72．
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x+2x+8-m（m＞0）． 由
有-x+x-m=0． ∴△=1-4m≥0， ∴m≤．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．
2
2
，
考点：二次函数综合题．
9.在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x． i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的
位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=与直线BC相离；x＞
时，⊙O与直线BC相切；当x＜
，当x=时，时，⊙O
时，⊙O与直线BC相交．
【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．
试题解析：（1）i．如图1，
2
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN， 又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B， ∴∠B=∠BPM， ∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上． ii．以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴∴∴AN=
， ， ，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积， ∴
，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F， 由（2）知ME=MB=4-x， ∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4， 由题意知△PEF∽△ABC， ∴
，
2
∴S△PEF=（x-2）， ∴y=S△PMN-S△PEF=
∵当0＜x≤2时，y=x， ∴易知y最大=
，
，
2
，
又∵当2＜x＜4时，y=
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2． （2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN． 在Rt△ABC中，BC=由（1）知△AMN∽△ABC， ∴
，即
，
=5；
∴MN=x ∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴∴BM= ∴x=∴当x=当x＜x＞
，
时，⊙O与直线BC相切； 时，⊙O与直线BC相离； 时，⊙O与直线BC相交．
，
，AB=BM+MA=
x+x=4
考点：圆的综合题．