? p 0 100 200 300 400 1 254 258 258 254 25所求的数学期望为E?=0?14884+100?+200?+300?+400?=240(元) 2525252525所以随机变量?的数学期望为240元. 1x19.(1)∵函数f(x)＝a的图象过点(1，)，
2
11x∴a＝，f(x)＝().
22
anan1n2*x又点(n－1，2)(n∈N)在函数f(x)＝a的图象上，从而2＝n－1，即an＝n－1. nn22
2
n＋1n22n＋1
(2)证明：由bn＝－n＝n得， n222
352n＋1
(3)Sn＝＋2＋?＋n，
2221352n－12n＋1则Sn＝2＋3＋?＋n＋n＋1， 22222
131112n＋1
两式相减得：Sn＝＋2(2＋3＋?＋n)－n＋1，
222222
11[1?()n?1]132n?12sn??24?n?1
12221?22n＋5
∴Sn＝5－n，
2
?
2n?5?0∴Sn<5 n2
21.解：（I）由x2?4y得y?1x2，?y??41x.∴直线2l的斜率为y?|x?2?1，
故l的方程为y?x?1，∴点A坐标为（1，0）
设M(x,y) 则AB?(1,0),BM?(x?2,y),AM?(x?1,y)， 由AB?BM?2|AM|?0得 (x?2)?y?0?2整理，得x?y2?1.
2?(x?1)2?y2?0.
2∴点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 （II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①
x2?y2?1，整理，得 将①代入2(2k2?1)x2?8k2?x?(8k2?2)?0，
由△>0得0 2 1. 设E(x1，y1)，F(x2，y2) 2 ?8k2x?x?,2则??12k2?1 ② 令??2?xx?8k?2.12?2k2?1??S?OBE|BE|，由此可得 ,则??S?OBF|BF|BE???BF,??x1?2,且0???1. x2?2?4, 22k?1由②知(x1?2)?(x2?2)? （x1?2)?(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4??22k2?1. ?2k2?14?1?,即k2??22(1??)8(1??)2 ?0?k2?14?11,?0???,2(1??)222又?0???1,解得3?22???3?22. ?3?22???1.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－22， 1） 22.解：（Ⅰ）当x?1时，f(x)??x3?x2?bx?c，则f?(x)??3x2?2x?b。 依题意得：?f(0)?0，即?c?0 解得b?c?0 ??f?(?1)??5???3?2?b??532（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)???x?x,x?1 ??alnx,x?1①当?1?x?1时，f?(x)??3x2?2x??3x(x?2)，令f?(x)?0得x?0或x?32 3当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： x f?(x) (?1,0) — 单调递减 0 0 极小值 2(0,) 3+[来源:学优高考网]2 30 极大值 2(,1)3[来源:学优高考网GkStK] — 单调递减 f(x) 单调递增 24，f(0)?0。∴f(x)在[?1,1)上的最大值为2. 327②当1?x?2时, f(x)?alnx.当a?0时, f(x)?0,f(x)最大值为0； 当a?0时, f(x)在[1,2]上单调递增。∴f(x)在[1,2]最大值为aln2。 又f(?1)?2，f()?综上，当aln2?2时，即a?2时，f(x)在区间??1,2?上的最大值为2； 当aln2?ln22时，即a?2时， ln2f(x)在区间??1,2?上的最大值为aln2。 [来源:GkStK.Com] （Ⅲ）假设曲线y?f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧。 32不妨设P(t,f(t))(t?0)，则Q(?t,t?t)，显然t?1 ∵?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴OP?OQ?0 即?t?f(t)(t?t)?0 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q. 3223232若0?t?1，则f(t)??t?t代入（*）式得：?t?(?t?t)(t?t)?0 42即t?t?1?0，而此方程无解，因此t?1。此时f(t)?alnt， 232代入（*）式得： ?t?(alnt)(t?t)?0 即1?(t?1)lnt （**） a令h(x)?(x?1)lnx (x?1)，则h?(x)?lnx?1?1?0 232x∴h(x)在[1,??)上单调递增， ∵ t?1 ∴h(t)?h(1)?0,∴h(t)的取值范围是 (0,??)。 ∴对于a?0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。 因此，对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上存在两点P、Q，使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上。 高≈考∴试!题じ库www.gkstk.com