数列通项公式的求解方法及练习汇编
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，n12222231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。
22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为
an?1an3??，说明数列2n?12n2ana3?1?(n?1){n}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。 例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则
nn
1
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3n?n?1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1
，得
an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333
1n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322an?1an21???，n?1nn?13333an?3a2a1a1?an??n)???(?)?，即得数列?n?3?332313?3?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为
anan?1an?1an?2an?2?)?(?)?(3n3n?13n?13n?23n?2的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
进而求出(三、累乘法
例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
2
nan?1?2(n?1)5n，故an
an?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
an?1?2(n?1)5n，进而求an评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为出
anan?1aa????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足
a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2) 故
②
①
an?1?n?1(n?2) ananan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22n!。 2
③
所以an?由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!. 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为进而求出
an?1?n?1(n?2)，ananan?1a从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的????3?a2，
an?1an?2a2通项公式。 四、待定系数法
例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5
n?1?2(an?x?5n)
④
3
n将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2，等式两边消去an?2x?5nnx?5，两边除以5，得3?5x?2x则代入④式得,x??1,2an，得3?5n?x?5n?1?2an?1?5n?1?2(an?5n)
1 ⑤
nan?1?5n?1n由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列?2{a?5}是以nnan?5a1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5n转化为an?1?5n?1?2(an?5n)，从而可知数列{an?5n}是等比数列，进而求出数列{an?5n}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得
⑥
3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。
?5?2x?3x?x?5令?，则?，代入⑥式得
4?y?3yy?2??an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
⑦
由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，
an?1?5?2n?1?2得an?5?2?2?0，则?3， nan?5?2?2n故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2n?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求
出数列{an?5?2n?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n2?4n?5代入⑧式，得
22an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
4
等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，
?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得
?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨
由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18则?2，故数列{an?3n2?10n?18}为以2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列
进而求出数列{an?3n2?10n?18}的通项公式，最后再{an?3n2?10n?18}是等比数列，
求出数列{an}的通项公式。 五、对数变换法
5例10 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
55解：因为an?1?2?3n?an式两边取，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3n?an常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)
⑩ 11 ○
将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?lg?2xn(??1)y?5(lgan?xn?y，两边消去
5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则
lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??lg3lg2x?y?lg2?5y??y???164?代入○11式，得lgan?1?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??) ○12 41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0及○12式， 41644164lg3lg3lg2n???0， 41645