??(k?3n?2tan(k?1)?tanktan(n?3)?tan3?1)??ntan1tan1
13． 32． 已知等比数列{an}的公比q?3，前3项和S3?
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0????)在x?为a3，求函数f(x)的解析式．
?6处取得最大值，且最大值
131得a1?，所以an?3n?2； 33(Ⅱ)由(Ⅰ)得a3?3，因为函数f(x)最大值为3，所以A?3，
解：(Ⅰ)由q?3,S3?又当x?
?6
时函数f(x)取得最大值，所以sin(?3??)?1，因为0????，故???6，
所以函数f(x)的解析式为f(x)?3sin(2x??6)。
3. 设b?0,数列?an?满足a1=b,an?(1)求数列?an?的通项公式；
nban?1(n?2),
an?1?2n?2bn?1(2)证明：对于一切正整数n,an?n?1?1
2解:(1)由an?当b?2时,nban?1n2n?11可得???,an?1?2n?2anban?1bnn?11n111nn??,则数列{}是以?为首项,为公差的等差数列,??,从而an?2.anan?12ana122an2n12n?11 当b?2时,??(?),an2?bban?12?b则数列{n11122?}是以??为首项,为公比的等比数列,an2?ba12?bb(2?b)bn122n?112nnbn(2?b)????()??(),?an?nn,an2?bb(2?b)b2?bb2?b(b?2)?2,? 综上an??nbn(2?b).?nn(b?0,b?2)?2?b11
bn?1bn?1(2)当b=2时,an?2,n?1+1?2,?an?n?1+1,从而原不等式成立;22bn?1nbn(2?b)bn?1n(2?b)b1当b?2时,要证an?n?1+1,只需证nn?n?1+1,即证nn?n?1+n,22?b22?b2bnb1即证n?1n?2?+,2?2b?2n?3b2???2bn?2?bn?12n?1bn2n?12n?22n?321bb2bn?1bn
即证n?n?n?1?n?2???2??2?3???n?n?1,bbbbb22222n?1bn2n?2bn?12b21b而上式左边=(n?n?1)?(n?1?n)???(2?3)?(?2)b2b2b2b22n?1bn2n?2bn?12b21b?2??2????2??2??nbn2n?1bn?12nb223b22?当b?2时,原不等式也成立,从而原不等式成立.4. 已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足：a1?a(a?0)，an?1?rSn (n?N*，
r?R,r??1).
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若存在k? N，使得Sk?1，Sk，Sk?2成等差数列，试判断：对于任意的m?N，
*
*
且m?2，am?1，am，am?2是否成等差数列，并证明你的结论. 所以当r?0时数列?an?为：a，0，0，0，…，
解：（Ⅰ）由已知：an?1?rSn得an?2?rSn?1，两式相减得an?2?(r?1)an?1，又a2?ra
?当r?0,r??1时，由已知a?0，所以an?0，n?N，于是
an?2?1?r,(n?N?) an?1所以数列a2,a3,?,an成等比数列，即当n?2时an?r(1?r)n?2a 综上数列?an?的通项公式为an???an?2n?1?r(1?r)a,n?2?（Ⅱ）对于任意的m?N，且m?2，am?1，am，am?2成等差数列，证明如下：
n?1?a，此时am?1，am，am?2成等差数列； n?2?0*
当r?0,r??1时，若存在k? N，使得Sk?1，Sk，Sk?2成等差数列，则2Sk=Sk?1+Sk?2
*
∴2ak?1?ak?2?0，由（Ⅰ）知数列a2,a3,?,an的公比r?1??2，于是对于任意的m?N，且m?2，
当r?0时由（Ⅰ）知an??am?2??2am?1?am?2?4am；所以2am=am?1+am?2即am?1，am，am?2成等差数列；
综上：对于任意的m?N，且m?2，am?1，am，am?2成等差数列。
?5. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列?bn?中的b、b、b。
(I) 求数列?bn?的通项公式；
12
??是等比数列。 n?解：(I)设成等差数列的三个正数分别为a?d,a,a?d；则a?d?a?a?1d5??5a； ?数列?bn?中的b、b、b依次为7?d,10,18?d，则(7?d)(18?d)?100；
(II) 数列?bn?的前n项和为S，求证：数列?Sn?得d?2或d??13（舍），于是b3?5,b4?10?bn?5?2n?3
??545555?2n?1n?2n?24(II) 数列?bn?的前n项和Sn?5?2?，即Sn??5?2???2 n?25445?2Sn?45??因此数列?Sn??是公比为2的等比数列。
4??Sn?1?
6.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和
为
Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立.
（1）设M=｛1｝，a2?2，求a5的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式.
解:（1）?k?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：
an?2?an?2an?1
所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8; （2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2)，
?n?2,Sn?4?Sn?2?2(Sn?1?S3),(3);?n?3,Sn?5?Sn?3?2(Sn?1?S4),(4);
当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5) 由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6) 由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7); 由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);
由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由（5）（6）得：
an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10);
由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;??an?(n?2)成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2;
13
2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1 ?a2?3,d?2,?an?2n?1.
7. 已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1?a(a?0)，b1?a1?1，b2?a2?2，b3?a3?3.
（1）若a?1，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}唯一，求a的值.
解（1）设{an}的公比为q，则b1?1?a?2，b2?2?aq?2?q，
b3?3?aq2?3?q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2?q)2?2(3?q2)，
即q2?4q?2?0，解得q1?2?2，q2?2?2 所以{an}的通项公式an?(2?2)n?1或an?(2?2)n?1.
22（2） 设{an}的公比为q，则由(2?aq)?(1?q)(3?aq)，得
aq2?4aq?3a?1?0(* )2由a?0得??4a?4a?0，故方程（*）有两个不同的实根.
1由{an}唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得a?.
3 8. 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式；
?a? （II）求数列?nn的前n项和． ?1??2?解（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得?解得??a1?d?0,
?2a1?12d??10,?a1?1,故数列{an}的通项公式为an?2?n. ………………5分
?d??1. （II）设数列{anana2}的前n项和为SS?a????,故S1?1， ，即nn122n?12n?1Sna1a2aSna2?a1an?an?1ann?1?a?????n ?????n.所以，当时，1222n?122242n1112?n12?n?1?(????n?1?n)?1?(1?n?1)?n
242222n2.综上，数列{n?1所以Sn?ann}的前n项和S?. nn?1n?122
9. 等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6.
（Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
14
?1?（Ⅱ）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??的前n项和.
?bn?232解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q??9a2a6得a3?9a421。 9由条件可知a>0,故q?1。 311。 故数列{an}的通项式为an=n。
33n(n?1) 2由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an=?(1?2???n)??故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n ??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1所以数列{2n1 }的前n项和为?n?1bn10. 设等差数列?an?满足a3?5，a10??9。
（Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。
解：（Ⅰ）由an?a1?(n?1)d及a3?5，a10??9得a1?9,d??2； 所以数列?an?的通项公式为an?11?2n
（Ⅱ）Sn?10n?n2??(n?5)2?25，所以n?5时Sn取得最大值。
11. 设数列{an}满足a1?0且
11??1.
1?an?11?an（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?1?an?1n，记Sn??bk?1nk，证明：Sn?1.
?111?1?解：（Ⅰ）由??1知数列??1，公差为1的等差数?是首项为
1?a1?an?11?an1?a?n?1?列。
15