lgan?1?则
lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n??}是以lg7???为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此比数列，则lgan?41644164lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2lgan?(lg7???)5?n??4164464所以数列{lgan??(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1141614n?1n4?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614
?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3则an?75?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?145n?4n?116?25n?1?14。
5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3n?an转化为
lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项
41644164公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 lgan?1?六、迭代法
3(n?1)2例11 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。 3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)nnn?13(n?1)?2?[an]3n?2 ?2n?2n?13(n?2)?2?[an]3(n?1)?n?2?33(n?2)(n?1)n?2?an?33n?32(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)???a13?an?1
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?5
3n?1?n!?2n(n?1)2。
6
3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?ann两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2n?lgan，即
lgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
七、数学归纳法
例12 已知数列{an}满足an?1?an?解：由an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 122(2n?1)(2n?3)988(n?1)a?及，得 19(2n?1)2(2n?3)28(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348 a3?a2????(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。
(2?1?1)29(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，
(2k?1)2ak?1?ak?8(k?1)
(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222
(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]27
由此可知，当n?k?1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法
例13 已知数列{an}满足an?1?*1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?故an?1?121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn ?(b?3)?1n因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以列，因此bn?3?2()1n?11n?211?2?()，则bn?()n?2?3，即1?24an?(n)?3，得2222211n1an?()n?()?。
3423评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化
13bn?形式，从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，22最后再求出数列{an}的通项公式。 bn?1?九、不动点法
例14 已知数列{an}满足an?1?解：令x?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。
4an?121x?2421x?24224?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?，得4x?20x?的
4x?14x?1两个不动点。因为
8
21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2????。所以数列
an?1?321an?24?321an?24?3(4an?1)9an?279an?34an?1?an?2?a?2a1?24?21313??2为首项，以为公比的等比数列，故n?2()n?1，??是以
9a1?34?3an?39?an?3?1则an??3。
132()n?1?1921x?2421x?24的不动点，即方程x?的两
4x?14x?1?a?2?a?213an?2个根x1?2，x2?3，进而可推出n?1，从而可知数列?n???为等比数
a?3an?1?39an?3?n?评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?列，再求出数列??an?2??的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 a?3?n?例15 已知数列{an}满足an?1?解：令x?7an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
2an?37x?23x?12，得2x?4x?2?0，则x?1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?7因为an?1?1?7an?25a?5，所以 ?1?n2an?32an?3an?352a?3212?2(1?2)?1?2， ?n??an?1?15an?55an?15an?1an?15?1?112所以数列???1为首项，以为公差的等差数列，则?是以
5a1?12?1?an?1?2n?812。 ?1?(n?1)，故an?2n?3an?15评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?3x?17x?2的不动点，即方程x?的根
4x?72x?3?1?112x?1，进而可推出??，从而可知数列??为等差数列，再求出数列
a?1an?1?1an?15?n??1???的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 a?1?n?十、特征根法
例16 已知数列{an}满足an?1?3an?an?1(n?2)，a1?a2?1，求数列{an}的通项公式。
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解：an?1?3an?an?1(n?2)的相应特征方程为??3??1?0，解之求特征根是
2?1?3?53?53?53?5，所以an?c1。 ，?2??c22222由初始值a1?a2?1，得方程组
?3?513?511?c()?c()?12?22 ??1?c(3?5)2?c(3?5)212??22?5?25?c1??5求得? ?c?5?252?5?从而an?5?253?5n5?253?5n()?()。 5252评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出c1，c2，从而可得数列
{an}的通项公式。
1．在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个
数的乘积记作（Ⅰ）求数列
Tn，再令
an?lgTn,n≥1.
{an}的通项公式；
{bn}的前n项和
（Ⅱ）设bn?tanan?tanan?1求数列
解：（I）设
Sn.
l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中t1?1,tn?2?100,则
Tn?t1?t2???tn?1?tn?2, ①， Tn?tn?1?tn?2???t2?t1, ②
2tt?tt?10(1?i?n?2),得 1n?3?i1n?2①×②并利用
Tn2?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2),?an?lgTn?n?2,n?1.
（II）由题意和（I）中计算结果，知
bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.
tan(k?1)?tank,1?tan(k?1)?tank
nn?2tan1?tan((k?1)?k)?
另一方面，利用
tan(k?1)?tankSn??bk??tan(k?1)?tanktan(k?1)?tank??1.tan1k?1k?3得所以
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