第5章 两自由度系统的振动
应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、
主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角? 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
图5-1车辆模型
5.1 双质量弹簧系统的自由振动
5.1.1 运动微分方程
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
?1?(k1?k2)x1?k2x2?0?m1?x??2?k2x1?k2x2?0m2?x?图5-2两自由度的弹簧质量系统
(5-1)
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式
??1?ax1?bx2?0?x? (5-2)
??2?cx1?dx2?0?x显然此时
a?k1?k2,m1b?k2,m1c?d?k2 m2但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
1
5.1.2 固有频率和主振型
根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为
或写成以下的矩阵形式
?x1??A1??????????sin(pt??) ??x2????A2??x1?A1sin(pt??)???
x2?A2sin(pt??)??(5-3)
(5-4)
将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组
?a?p2???c?b??A1??0????? 2??d?p??A2??0?(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 展开后为
?(p)?2a?p2?c?bd?p2?0
p4?(a?d)p2?ad?bc?0
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率p满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是p2的二次代数方程，它的两个特征根为
2p1,2a?d?a?d??????(ad?bc)
22??a?d?a?d??????bc
2?2?22
(5-7)
由于式(5-7)确定的p2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
5.2.2 主振型
将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
2
(1)A2a?p12c??1?(1)???bA1d?p12?? (2)2Aa?p2c??2?2??2?bA1(2)d?p2?(5-8)
以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动
时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值
x2x1也同样是确定的，并且等于振幅比，即：
(1)x2??1,x1(1)(2)x2??2 (5-9) x1(2)其它各点的位移则都可以由x1和x2所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与p1对应的振幅比?1称为第一阶主振型，与p2对应的振幅比?2称为第二阶主振型。
将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得
1?a?d?1???b?2?1?a?d?2???b?2?2??a?d????bc??0??2??????? 2???a?d????bc??0???2????(5-10)
这表明，系统以频率p1振动时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率p2振动时，总是按相反的方向运动。
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为
(1)x1?A1(1)sin(p1t??1)(1)x2?(1)A2sin(p1t??1)??(1)1A1sin(p1t??1) (5-11)
第二阶主振动为
(2)x1?A1(2)sin(p2t??2)(2)x2?(2)A2sin(p2t??2)??(2)2A1sin(p2t??2) (5-12)
可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即
(1)(2)x1(t)?x1?x1?A1(1)sin(p1t??1)?A1(2)sin(p2t??2)x2(t)?(1)x2?(2)x2??? (1)(2)??1A1sin(p1t??1)??2A1sin(p2t??2)??(5-13)
上式可以写成如下的矩阵形式，即
3
?A1(2)??x1??A1(1)?sin(p1t??1)??sin(p2t??2) ????(1)?(2)?x?2???1A1???2A1?(5-14)
(1)(2)式中A1,A1,?1,?2由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率
的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。
例5-1 试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。
解：（1）建立运动微分方程式
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为
m?x?1?2kx1?kx2?02m?x?
图5-3两自由度系统
2?kx1?2kx2?0若写成(5-2)的标准形式，则
a?2km,b?km,c?k2m,d?km 所以
2
p2?a?d31,22???a?d??2???bc?k2m?(k2m)2?k23k3k2m2?2m?2m 解出，p2k2k1?0.634m,p2?2.366m。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为 p0.634k2.366k.k1?m?0.796km,p2?m?1.538m
（3）求主振型
图5-4振型图
将p221、p2分别代入式(5-26)，得
4
?1??2?(1)A2A1(1)(2)A2a?p121??b0.732A1(2)???? 2a?p21????b2.732??
主振型为
A(1)(1)?A2??1???(1)????,0.732A??1??A(2)(2)?A2??1???(2)????
?2.732A??1??系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2 在图示5-3所示系统中，已知m1?m2?m,k1?k3?k,k2?4k，求该系统对以下两组?10?x?20?0；（2）t?0,x10?1cm, 初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，x20?x?10?x?20?0。 x20??1cm,x解：系统的的运动微分方程分别为
?1?5kx1?4kx2?0m?x
?2?4kx1?5kx2?0m?x若写成(5-2)的标准形式，则
a?d?所以
5k,m
b?c?4k, mp12,2a?d5k4k?a?d? ??????bc?2mm?2?22解出，p1?k,m2p2?9k。 m?a?p12?1?(1)??1?bA1?? (2)2Aa?p2??2?2???1?(2)bA1?(1)A2对应的两个主振型为
将初始条件（1）代入式(5-10)，解得
x10x20?10x?20x
?A1(1)sin?1?A1(2)sin?2?1??1A1(1)sin?1??2A1(2)sin?2?0
?A1(1)p1cos?1?A1(2)p2cos?2?0?A1(1)?1p1cos?1?A1(2)?2p2cos?2?05