(1)因此，A1?1,2(2)A1?1,2?1?,π2?2?
π2所以
x1(t)?
111k1kcosp1t?cosp2t?cost?cos3t(cm)222m2m111k1kcosp1t?cosp2t?cost?cos3t(cm)222m2m
x2(t)?这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。
再将初始条件（2）代入式(5-10)，得 所以
(1)A1?0,?1??2,(2)A1?1,?2?π 2
x1(t)?cosp2t?cos3kkt(cm),x2(t)??cosp2t??cos3t(cm) mm这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
5.2 拍振现象
图5-5（a）表示两个摆长，质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。
OOka ka(?-?)??
l
mm
mgmga)
b)
122112图5-5双摆拍振
取?1、?2表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图5-5（b）。根据刚体绕定轴转动方程，当?1、?2角位移很小时，得到摆做微小振动的微分方程
???mgl???mglml2???1?ka2(?2??1), ml2???2?ka2(?2??1) 12用与前面类似的分析方法，得到系统的第一阶和第二阶固有频率为
p1?系统的第一阶和第二阶主振型为
g，p2?lg2ka2 ?lml2?1?1，?2??1
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于是得到第一主振动
?1(1)??(1)sin(p1t??1), ?2(1)??(1)sin(p1t??1)
第二主振动
?1(2)??(2)sin(p2t??2), ?2(2)???(2)sin(p2t??2)
在任意初始条件下，系统振动的一般解
(1)(2)?1??1??1??(1)sin(p1t??1)??(2)sin(p2t??2)
?2??(21)??(22)??(1)sin(p1t??1)??(2)sin(p2t??2)
?(0)???(0)?0，代入上式得到 如果初始条件是：t = 0时，?1(0)??0，?2(0)??12?(1)??(2)??0，?1??2?因此得到双摆作自由振动的规律
12? 2?1??0?(cosp1t?cosp2t),?2?0(cosp1t?cosp2t) 22如果弹簧的刚度k很小，即
g2ka2＜＜
lml2这时p1,p2相差很少，将上式写成
?1??0cosp2?p1p?p1p?p1p?p1tcos2t，?2??0sin2tsin2t 2222p2?p1则上式为 2ΔpΔptcospat, ?2??0sintsinpat 22令Δp?p2?p1pa??1??0cos这表明，两个摆的运动可以看作是频率为pa的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数?0cosΔpΔpt和?0sint，这种现象称为拍振。 22TB?2π Δp称为拍的周期。由于Δp较小，所以拍的周期一般较长。此外，两个拍振之间相位角差为
π，就是2说，当t = 0时，左边的摆以?0开始摆动，右边的不动；随后，左边摆的振幅逐渐减小，右边摆的振
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幅逐渐增大。当t?11TB时，左边的摆停止，右边的摆达到?0，再经过TB，即t?TB时，右边的22摆停止，左边的摆达到?0。这种循环，每隔一个拍振周期重复一次。可以看到，两个摆的动能也从一个摆传递到另一个摆，循环传递，使它们持续地振动。
图5-6 双摆拍振?1?cos0.05tcos2.05t, ?2?sin0.05tsin2.05t的时间历程
5.3 坐标的耦联
5.3.l 耦联与非耦联
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
??1?ax1?bx2?0?x?
??2?cx1?dx2?0?x可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立
的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有
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动力耦联或惯性耦联。
某个系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。一般说来，为了表示多质点系的运动状态，可以选用的独立坐标系，即广义坐标，可能有几种。根据选择坐标的不同，系统可以是静力耦联，动力耦联、静力兼动力耦联，或非耦联的（即完全无耦联的）。
5.3.2主坐标
从上一节的分析可以知道，两质点无阻尼系统的运动方程式以q1(t)，q2(t)为广义坐标可写成如下最一般的形式
??1?M12q??2?K11q1?K12q2?0?M11q?
??1?M22q??2?K21q1?K22q2?0?M21q(A)
式中Mij和Kij (i≠j)分别表示动力和静力耦联项。
然而，如果坐标选择得当，可使式(A)中的耦联项为Mij = 0，Kij = 0 (i≠j)。即总是可以使微分方程式不联立，在每个式子中分别只含一个未知数而与另一未知数无关。如果能得到这种独立的运动方程式，则作为方程解求出的系统各个分量的运动与其它各分量的运动无关，分别作具有各自固有的振幅、频率和相位的单自由度振动，即谐和振动，问题就大大简化了。
这种经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。
例5-7 试由双摆作微小摆动的微分方程，寻求系统的主坐标。 解：双摆作微小摆动的微分方程为
22gkaka???(??)?1?2?2?0 1lml2mlka2gka2???2?2?1?(?2)?2?0
lmlml将以上两式相加、相减便得到
??????g(???)?0 ??1212lgka2?????1??2?(?2)(?1??2)?0
lml令?1??1??2，?2??1??2，上式变为
?1?g?1?0 lgka2?2?(?2)?2?0
lml可见，?1,?2就是系统的主坐标，所以该系统的两个固有频率为
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p1?g，p2?lg2ka2 ?lml25.4 双质量弹簧系统的受迫振动
在图5-3所示的两自由度系统力学模型中，若两个物块受到激振力的作用，
F1(t)?F1sin?t,F2(t)?F2sin?t，可列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为
令
?1?(k1?k2)x1?k2x2?F1sin?tm1?x
?2?k2x1?(k2?k3)x2?F2sin?tm2?x
a?则得
k1?k2kk,b?2,c?2,m1m1m2d?k2?k3F,f1?1,m2m1f2?F2 m2??1?ax1?bx2?f1sin?t?x? (5-15)
??2?cx1?dx2?f2sin?t?x这是二阶线性常系数非齐次微分方程组。由微分方程理论知，其解由对应的齐次方程组的通解与该非齐次方程组的特解组成。前者为系统的自由振动，和单自由度系统一样，由于阻尼的存在，它将在较短时间内衰减掉，后者为系统的受迫振动，不随时间衰减。当自由振动部分衰减了以后，它就是系统的稳态响应。设方程组(5-15)的特解为
代入原方程组后得
由此解出受迫振动的振幅
B1?(d??2)f1?bf2?(?2)cf1?(a??)f2?(?2)2x1?B1sin?t???
x2?B2sin?t??(5-16)
(a??2)B1?bB2?f1???
2?cB1?(d??)B2?f2??(5-17)
B2????? ???(5-18)
22式中?(?2)?(a??2)(d??2)?bc?(p1??2)(p2??2)，其中p1、p2为系统的两个固有频率（见2的表达式）。 p12,p2于是得出结论：在简谐干扰力作用下，两自由度无阻尼的线性振动系统的受迫振动是以干扰力频率为其频率的简谐振动，其振幅由式(5-18)确定。
式(5-18)表明，受迫振动的振幅大小不仅和干扰力的幅值大小F1、F2有关，而且和干扰力的频
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