率?有关。特别是当?＝p1或?＝p2时，即当干扰力的频率等于振动系统的固有频率时，振幅B1、B2将会无限地增大，发生共振。与单自由度振动系统不同，两自由度系统一般有两个固有频率，因此，可能出现两次共振。
由式(5-18)可得
B2cf1?(a??2)f2 (5-19) ?2B1(d??)f1?bf2这说明对于确定的激振力的幅值和频率，振幅比同样是确定值，也就是说系统有确定的振型。 当干扰力的频率?等于第一阶固有频率时，
2?B2?cf1?(a?p1)f2?? ??B?2(d?p)f?bf?1???p1112a?p12c将方程(5-8)第一式中的分子分母同乘以f2,的分子分母同乘以f1，根据比例式相加法2bd?p1则得到
22a?p1cf1?(a?p1)f2?B2?c v1??????22?bBd?p1(d?p1)f1?bf2??1???p1同理，当?＝p2时，则有(B2/B1)??p2?v2。这表明，系统在任何一个共振频率下的振型就是相应的主振型。振动测量中常利用这一规律来测量系统的固有频率，并根据共振时系统的振动形态来判断该固有频率的阶次。
例 图5-3所示系统中已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k，k3?2k；物体的质量m1＝m，m2＝2m。若在质量m1上作用一激振力F1(t)?F1sin?t而F2(t)?0。（１）求系统的响应；（２）计算共振时的振幅比；（３）作幅频特性曲线。 解： （１）a?所以
2k,mb?kk, c?,m2m(d?3kk2,所以p1?,2mm2p2?5k。 2mF3k??2)1(3k?2m?2)F12mmB1?? (a1) 22k5k(k?m?)(5k?2m?)22(??)(??)m2mkF1?kF12mmB2?? (a2) 22k5k(??2)(??2)(k?m?)(5k?2m?)m2m故系统的响应为
x1? x2?(3k?2m?2)F1(k?m?2)(5k?2m?2)kF1(k?m?)(5k?2m?)22sin?t sin?t
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（２）
B2B2B2k1k5k2222。当时，；当时，??1??????2。 ??p???p?112B13k?2m?2B1B12m2m（３）将振幅的表达式(a1) 、(a2)改写成如下无量纲形式
3??()2B12p12 (b1) ?F??522(1)[1?()][1?()]kp1p2B211 (b2) ?F1??5()[1?()2][1?()2]kpp12
图５-7 双质量弹簧系统的幅频特性曲线
图５-7 给出的无量纲振幅
B1(F1k)（兰色）、
B2(F1k)（红色）和无量纲频率?p1之间的关系曲
线表明有两次共振。每次共振时，两个质量块的振幅都同时达到最大值。当激励频率为??3k2m时，m1的振幅为零，这种现象通常称为反共振。当激励频率??3k2m时，两个质量块的运动方向相同；当激励频率??3k2m时，两个质量块的运动方向相反。当???p2时，两个质量块的振幅都非常小而趋于零。
5.5 动力减振器
上节已经指出，对一个两自由度系统，当其中的一个质量块受到外界激励时，它却有可能不动而使另一个质量块运动。根据这个原理，可以制成工程上常用的动力减振器。
图５-8所示梁上装有一电动机，运转时由于转子的偏心而诱发强迫振动。这可用质量为m1、弹簧刚度为k1的单自由度系统的受迫振动来描述。在某一确定的电机转速下可能由于共振而引起强烈振动。为此在梁上附加一个质量为m2、弹簧刚度为k2的弹簧质量系统，从而构成了一个两自由度
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的系统。
根据上节的讨论，此系统的振动微分方程为：
?1?(k1?k2)x1?k2x2?F1sin?tm1?x（a） （b）
图５-8 动力减振器
?2?k2x1?k2x2?0m2?x其强迫振动的振幅为
B1?B2?式中
(d??2)f1?(?2)cf1?(?2)???? ????(?2)?(a??2)(d??2)?bc， k?k2kkFa?1,b?2,c?2?d,f1?1,m1m1m2m1不难看出，当?2?d?
k2时， m2???f1F1? B2????bk2?F这就是说，主系统不动而减振器以x2?B2sin?t??1sin?t作受迫振动。减振器弹簧在下端受到
k2的作用力为
B1?0k2x2??F1sin?t
在任何瞬时，都与激振力F1sin?t相平衡，因此使主系统的振动转移到减振器上来。图5-9 给出了
kmmB当??22?1，??2?1时无量纲振幅1和无量纲频率?之间的关系曲线。
(Fk)k1m1m1(k2m2)11由曲线可以看出，当?(k2m2)?1时，
B1(F1k1)?0。当考虑系统的阻尼时，主系统不是完全不
动，而是以较小的振幅振动。此外还可以看出在??k2m2附近有两个共振峰值。如果m2、k2选择不当，可能引起新的共振。为此必须控制附加动力减振器后的两自由度系统的固有频率。
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图5-9 动力减振器系统中主系统的幅频特性曲线
5.6 阻尼对强迫振动的影响
为了把问题简化，以上的分析都没有考虑系统的阻尼。本节以图5-10所示系统为例，讨论阻尼对两自由度系统受迫振动的影响。这个系统是在上节的动力减振器的两个质量块之间增加一个阻尼器而成。其运动微分方程为
?1?(k1?k2)x1?k2x2?c(x?1?x?2)?F1sin?tm1?x?2?k2x1?k2x2?c(x?1?x?2)?0m2?x
(5-20)
仍只考虑稳态运动。若利用复指数形式，则激振力为F1ej?t，而稳态运动的形式为
x1?B1ej(?t??1)j(?t??2)x2?B2e将（5-21）代入（5-20）后可解出B1、B2。下面只以主质量m1的
振幅B1进行讨论。其无量纲表达式为
(5-21)
B1(?2??2)2?(2??)2?F1[??2?2?(?2?1)(?2??2)]2?(2??)2(?2?1???2)2()k1 (5-22)
式中
??pm222kk,??02,p01?1,p02?2
mm12m1p01图５-10 有阻尼的双弹簧质量系统
???p,??cc?,c??2m2p01
01可见对于确定的?和?，无量纲振幅
B1是?和?的函数，这与单自由度受迫振动的情况一样。 F(1)k1图5-11对应??
1和??1的幅频特性曲线。??0为无阻尼的情况；???相当于m1和m2刚性连2014
接，所以幅频特性曲线与单自由度受迫振动的幅频特性曲线相同。不难看出，阻尼会使共振附近的振幅显著减小，但激振频率???p1或???p2时，阻尼对振幅的影响很小。此外，(5-22)所代表的响应曲线，无论?的值如何都通过S与T两点。这表明对于这两点对应的频率，主质量的振幅与阻尼无关。
图5-11 考虑阻尼时动力减振器的幅频特性曲线
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