不等式的证明方法
一、比较法
1. 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)? ∴x2 + 3 > 3x
2. 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
23223223223?0 4a?ma? b?mb 证：
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a) ???b?mbb(b?m)b(b?m)∵a,b,m都是正数，并且a
a?mam(b?a)? ?0 即：
b?mbb(b?m) 变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？ 3. 已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )
= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ? n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2， 则：1m?t2t1n?S,22SS(m?n)SS,t2???t2 可得：t1? m?n2mn2m2n2SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2∴t1?t2? ????m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)∵S, m, n都是正数，且m ? n，∴t1 ? t2 < 0 即：t1 < t2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若m = n，结果会怎样？
1
作商法
1.设a, b ? R，求证：ab?(ab) 证：作商：
+
aba?b2a?b2?abba
aabb(ab)a?b2?abb?a2a?()ba?b2
a当a = b时，()ba?b2?1
a?ba?0,()2ba?b2a 当a > b > 0时，?1,b?1
a?b2a 当b > a > 0时， 0??1,b∴ab?(ab)aba?b2a?ba?0,()2b?1
（其余部分布置作业）
二、综合法
1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不
等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：A?B1?B2???Bn?B
3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc
证明：∵b?c≥2bc,a＞0,
∴a(b2?c2)≥2abc ① 同理 b(c2?a2)≥2abc ②
22c(a2?b2)≥2abc ③
因为a，b，c不全相等，所以b?c≥2bc, c?a≥2ca, a?b≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号 222222∴a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc 例2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，
222222 2
求证：a2?b2?c2?(a?b?c)2 证明：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，∴b?ac 又∵a，b，c都是正数，所以0?b?∴a?c?b
∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0 ∴a2?b2?c2?(a?b?c)2
说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点 练习：
2ac≤
a?c?a?c 21． 设a, b, c ? R，（1）求证：a?b?222(a?b) 2（2）求证：a2?b2?b2?c2?c2?a2?（3）若a + b = 1, 求证：a?2(a?b?c)
11?b??2 22a2?b2a?b2a2?b2a?ba?b?()?0 ∴证：1?∵ ?||?22222∴a?b?222(a?b) 22(b?c)， 2c2?a2?2(c?a) 22?同理：b?c?22三式相加：a2?b2?b2?c2?c2?a2?3?由幂平均不等式：
2(a?b?c)
111(a??b?)?222∴a?11(a?)?(b?)22?2(a?b?1)?22?1 211?b??2 22111??)?9 abc3
2．a , b, c?R, 求证：（1） (a?b?c)(
1119??)? a?bb?cc?a2abc3??? （3）
b?cc?aa?b2（2） (a?b?c)(证：1?法一：a?b?c?33abc, 法二：左边?1111, 两式相乘即得 ???33abcabca?b?ca?b?ca?b?cbacacb???3?(?)?(?)?(?) abcabacbc ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2?∵
a?bb?cc?a33???(a?b)(b?c)(c?a) 22221111两式相乘即得 ???33a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)1119??)? a?bb?cc?a2cab9abc3?1??1?? 即 ??? ∴1?a?bb?cc?a2b?cc?aa?b23?由上题：(a?b?c)(三、分析法
1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：B?B1?B2???Bn?A 3．分析法的思维特点是：执果索因 4．分析法的书写格式： 要证明命题B为真，
只需要证明命题B1为真，从而有?? 这只需要证明命题B2为真，从而又有?? ??
这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 例1 求证3?7?25
证明：因为3?7和25都是正数，所以为了证明3?7?25 只需证明(3?7)2?(25)2 展开得 10?221?20
4
即 221?10,21?25 因为21?25成立，所以
(3?7)2?(25)2成立
即证明了3?7?25
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B1为真，从而有?? 这只需要证明命题B2为真，从而又有?? 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真
例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，
LL2L)；周长为L的正方形边长为，截面积，截面积为T1(2?2?4L2L2L)?()2 为()所以本题只需证明?(42?4L2)，截面是正证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为?(2?L2L2L)?()2 方形的水管的截面面积为()，所以本题只需证明?(42?4则周长为L的圆的半径为
?L2L2?为了证明上式成立，只需证明 2164?411? ，得2?4L因此，只需证明4??
L2L)?()2 上式是成立的，所以?(2?4两边同乘以正数
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆
的水管比截面是正方形的水管流量大 说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 练习：
22221. 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a?b)(c?d)
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立 (2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
22222
只需证(ac+bd)≤(a+b)(c+d)
5