则1?(x?1)(y?1)?1?tan?tan??cos(???)1??xy
cos?cos?cos?cos?例5已知：a > 1, b > 0 , a ? b = 1，求证：0?1?1??1??a???b???1 ????a?a??b?2证：∵a > 1, b > 0 , a ? b = 1 ∴不妨设a?sec?,?b?tan2?,(0???)
2 则
1?1??1?1?1??1??a???b???sec??tan?????? ????2a?sec???tan??a??b?sec??1tan2?sec2????sin? 2sec?sec?tan?∵0????1?1??1?, ∴0 < sin? < 1 ∴0??a???b???1 ????2a?a??b?2例6证明：若a > 0，则a?11?2?a??2 2aa1,(a?0,x?2,y?2) 2a2证：设x?a?1,ay?a2?21??21??22则x?y??a????a?2??2
a??a????x?y?a?11?a2?2?2?2 （ 当a = 1时取“=” ） aax2?y22∴x?y???2?2
x?y2?2即y?2?x?2 ∴原式成立
五、放缩法与反证法
例1若a, b, c, d?R+，求证：
abcd????2
a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???证明：（用放缩法）记m =
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c1?∵a, b, c, d?R+ ∴m?abcd????1
a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?c11
m?abcd????2 a?ba?bc?dd?c∴1 < m < 2 即原式成立
例2当 n > 2 时，求证：logn(n?1)logn(n?1)?1 证明：（用放缩法）∵n > 2 ∴logn(n?1)?0,2logn(n?1)?0
2222?logn(n?1)?logn(n?1)??logn(n?1)??lognn?∴logn(n?1)logn(n?1)???????1 ???222??????∴n > 2时, logn(n?1)logn(n?1)?1 例3 求证：
1111??????2 122232n2 证明：（用放缩法）
1111??? 2n(n?1)n?1nn∴
1111111111??????1?1????????2??2 2222223n?1nn123n例4 设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证明：（用反证法）设(1 ? a)b >
1 4111, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >, 4441则三式相乘：(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > ①
6421?(1?a)?a?又∵0 < a, b, c < 1 ∴0?(1?a)a?? ??24??同理 (1?b)b?11, (1?c)c? 441 此与①矛盾 64将以上三式相乘 (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤∴(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
1 4例4 已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证明：（用反证法）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c >?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设矛盾 又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证 b > 0, c > 0 练习
1．设x > 0, y > 0,a?x?yxy?, b?，求证：a < b
1?x?y1?x1?y 12
放缩法：
x?yxyxy ????1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y2．lg9?lg11 < 1
?lg9?lg11??lg99??2?放缩法：lg9?lg11??????????1
2???2??2?3．logn(n?1)logn(n?1)?1
222?logn(n2?1)??lognn2?放缩法：logn(n?1)logn(n?1)???????1
22????114???0 4．若a > b > c, 则
a?bb?cc?a22111??2?2放缩法：
a?bb?c(a?b)(b?c)5．
??24??? ?(a?b)?(b?c)?a?c??21111?????2?1(n?R?,n?2) nn?1n?2n11111n2?n?1 放缩法：左边??2?2???2??2nnnnnn1111??????1 2n?1n?22n11?n?中式??n?1 放缩法：2nn?16．
7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, n?R*)
?a??a??b??b??a??b?放缩法： ∵??????1，又a, b, c > 0, ∴?????,?????
?c??c??c??c??c??c??a??b??a??b? ∴????????????1? an + bn < cn
?c??c??c??c?8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
反证法：(2 ? a)c>1, (2 ? b)a>1, (2 ? c)b>1,则(2 ? a)c(2 ? b)a(2 ? c)b>1 ?① 又因为设0 < a, b, c < 2，(2 ? a) a?nn22n2n222(2?a)?a?1, 2同理 (2 ? b) b≤1, (2 ? c) c≤1,所以(2 ? a)c(2 ? b)a (2 ? c)b≤1此与①矛盾 9．若x, y > 0，且x + y >2，则
1?y1?x和中至少有一个小于2 xy反证法：设
1?y1?x≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾 xy 13
六、构造法
例1已知x > 0，求证： x?1?x1x?1x?5 211 ，u?x??2， 设2≤? 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x)在[2,??)上单调递增，∴左边?f(2)?例2 求证：
x2?10x2?9?10 3证明：（构造函数法）设t?x?9(t?3) 则f(t)?222x2?10t2?1? 2tx?9t?1t2?1(t1?t2)(t1t2?1)令 3≤t1 t1t2t1t233?110∴f (t)在[3,??)上单调递增，?f(3)?? 233x?9例2 已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2 证明：（构造方程法）由题设显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0， x2?10??a?2?b?c22则? 即b, c是二次方程x?ax??0的两个实根 bc?a?a?82∴??a??0 ?a≥2 a1sec2??tan???3(??k??,k?Z) 例3 求证：?3sec2??tan?2sec2??tan?证明：（构造方程法）设y? ， sec2??tan?则(y ? 1)tan2? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0 当 y = 1时，命题显然成立 当 y ? 1时，△= (y + 1)2 ? 4(y ? 1)2 = (3y ? 1)(y ? 3)≥0，∴综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法） 1?y?33 14 例5 已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证： a2?b2?(a?1)2?b2?a2?(b?1)2?(a?1)2?(b?1)2?22 证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点 DO到AD, AB的距离为a, b， 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| aE1-aC1-b1-b其中|AO|?a2?b2，|BO|?(a?1)2?b2， Fb|CO|?(a?1)2?(b?1)2，|DO|?a2?(b?1)2 又|AC|?|BD|?OHb1-aB2 AaG22222222 ∴a?b?(a?1)?b?a?(b?1)?(a?1)?(b?1)?22 练习 1x2?x?1?3 1．证明：?23x?x?1x2?x?1解：（构造函数法）令y?2，则 (y ? 1)x2 + (y + 1)x + (y ? 1) = 0 x?x?1用△法，分情况讨论 2．已知关于x的不等式(a2 ? 1)x2 ? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R)，对任意实数x恒成立，求证： ?5?a?1 3?a2?1?0解：分a ? 1 = 0和? 讨论 ???02 3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，证明：?x???1??1?25?y?????4 x??y??解：（构造函数法）左边?xy11??xy??2?xy? yxxyxy21?x?y?令 t = xy，则0?t???? 4?2?11117f(t)?t?在(0,]上单调递减 ∴f(t)?f()? t444 15 11(k?2,k?N*)，且a2 < a ? b，证明：b? kk?1111解：（构造函数法）令f(a)?a?a2，又0?a??，f(a)在(0,)上单调递增 ， k22111k?1k?112?∴b?a?a?f()??2?2?2 kkkk?1kk?14．若0?a? 5．记f(x)?1?x，a > b > 0，证明：| f (a) ? f (b) | < | a ? b| （构造图形法）构造矩形ABCD, F在CD上， 使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| ? |AF| < |CF| 226．若x, y, z > 0，证明：x?y?xy?2D1AbFa-bC1aBy2?z2?yz?z2?x2?zx C解：（构造图形法）作?AOB = ?BOC = ?COA = 120?, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 22则由余弦定理 |AC|＝x?y?xy zAxyOB|BC| ＝ y?z?yz,|CA|＝z?x?zx 222222因为|AC+||BC|>|CA|，所以x?y?xy +y2?z2?yz>z2?x2?zx 16