即证ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd
2222
即证2abcd≤bc+ad
2
即证0≤(bc-ad)
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法
22222222222222222222
证法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)
222
=(ac+bd)+(bc-ad)≥(ac+bd)
222222222222
2222∴(a?b)(c?d)≥|ac+bd|≥ac+bd 故命题得证 分析三:用比较法
222222
证法三:∵(a+b)(c+d)-(ac+bd)=(bc-ad)≥0,
22222
∴(a+b)(c+d)≥(ac+bd)
2222∴(a?b)(c?d)≥|ac+bd|≥ac+bd,
2222即ac+bd≤(a?b)(c?d) 2 选择题
(1)若logab为整数,且loga12
>logablogba,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）①b12
>b>a ②logab+logba=0 ③0
(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（ ）
A|x1|>2且|x2|>2 B|x1+x2|>4 C|x1+x2|<4 D|x1|=4且|x2|=1 答案:B
+
(3)若x,y∈R,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（ ）
D4 A1111(?) B C2xyx?y1 Dxy1 222(x?y)答案:D
(4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,则a的最小值是（ ） 2
C2
A2 2 B
D22
答案:B
+
(5)已知a,b∈R,则下列各式中成立的是（ ）
Acos2θ·lga+sin2θ·lgb
答案:A
+
(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（ ）
6
Aa+b≥2(2+1) Ba+b≤+1 Ca+b≥(2+1)
2
Da+b≤2(2+1)
答案:A
2用分析法证明:
2422
3(1+a+a)≥(1+a+a) 2422
证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)
22222
只需证3［(1+a)-a］≥(1+a+a)
2222
即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)
∵1+a+a=(a+
2
2
123)+>0 242
只需证3(1+a-a)≥1+a+a 2
展开得2-4a+2a≥0
2
即2(1-a)≥0成立 2422
故3(1+a+a)≥(1+a+a)成立 3用分析法证明:
ab+cd≤a2?c2?b2?d2 证明:①当ab+cd<0时,
ab+cd
欲证ab+cd≤a2?c2?b2?d2 只需证(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2)
2
2
展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)
222222222222
即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd
2222
即2abcd≤ad+bc
2222
只需证ad+bc-2abcd≥0
2
即(ad-bc)≥0
2
因为(ad-bc)≥0成立 22222222
所以当ab+cd≥0时,ab+cd≤a2?c2?b2?d2成立 综合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d2成立 4用分析法证明下列不等式:
(1)求证:5?7?1?15 (2)求证:x?1?+
x?2?x?3?x?4(x≥4)
(3)求证:a,b,c∈R,求证:
2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc) 23证明:(1)欲证5?7?1?15
7
只需证(5?7)2?(1?15)2 展开得12+235>16+215 即235>4+215
只需证(235)>(4+215)
2
2
即4>15这显然成立 故5?7?1?15成立 (2)欲证x?1?只需证x?1?即证(x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4) x?4?x?3?x?2(x≥4)
x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4)
展开得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即(x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)
只需证［(x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］
2
2
即证x-5x+4 22 x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)成立 (3)欲证2( a?ba?b?c3?ab)≤3(?abc) 23只需证a+b-2ab≤a+b+c-33abc 即证c+2ab≥33abc ∵a,b,c∈R ∴c+2ab=c+ab+ab≥33c?ab?ab?33abc ∴c+2ab≥33abc成立 + 故原不等式成立 5 若a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c>ab （2）c-c2?ab 2 8 证明:（1）∵ab≤( ∴ab ) （2）欲证c-c2?ab ∵a>0,只要证a+b<2c(已知) 故原不等式成立 222 6 已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b|<4 (2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2 证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=b则有: (1)(2)等价于证明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ|<4 2 ??????4????4?? ?22???4(???)?(4???)?2????4?????????4????4??22? ?2222??????4??4??16?0?(??4)(??4)?0????4????4????4????4?2?2??????4或???4????2或???2 ??2?4??2?4????2????2??????4?????2???2,??2. ????2四、换元法 1 三角换元： 若0≤x≤1，则可令x = sin? (0??????)或x = sin2? (????) 22222若x?y?1，则可令x = cos? , y = sin? (0???2?) 22若x?y?1，则可令x = sec?, y = tan? (0???2?) 若x≥1，则可令x = sec? (0????) 2 9 若x?R，则可令x = tan? (??????) 222 代数换元： “整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 例1 求证：?11?x1?x2? 222证一：（综合法） ?x2?(1?x2)?12222∵|x1?x|?|x|1?x?x(1?x)?? ??22??11122即 |x1?x|? ∴??x1?x? 222证二：（换元法） ∵?1?x?1 ∴令 x = cos? , ??[0, ?] 12则x1?x?cos?sin??sin2? 2112∵?1?sin??1 ∴??x1?x? 22例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证： 11??3?22 xy证一：???11?112xy??3?22 即：??(2x?y)?3???3?22?xyyx?xy?12sin?,2y?cos2? 证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x?则 112122????2(1?cot?)?(1?tan?) 22xysin?cos??3?(2cot2??tan2?)?3?22 例3 若x2?y2?1，求证：|x2?2xy?y2|?证：设x?rsin?,222 y?rcos?,(0?r?1)， 22222则|x?2xy?y|?|rcos??2rcos?sin??rsin?| ????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??例4 若x > 1，y > 1，求证：xy?1?(x?1)(y?1) 证：设x?sec?,2?y?sec2?,(0??,??) 2 10