肇庆市2013届高三上学期期末统一考试
数学（理科）
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填
写在答题卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷
各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：1。锥体的体积公式V?13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．设z?1?i（i是虚数单位），则
2z?z? ( ) A．2?2i B．2?2i C．2 D．3 2．已知集合A??1,2,m?，B??3,4?，A?B??1,2,3,4?则m?（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 3或4
3．已知向量a?(1,?cos?)，b?(1,2cos?)，且a?b，则cos2?等于 （ ）
1222A.?1 B.0 C . D.
?x?y?1?4．已知变量x,y满足约束条件?x?1?0，则z?2x?3y的取值范围是（ ）
?x?y?1? A. [?8,4] B. [?8,2] C. [?4,2] D. [?4,?8]
5．图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 ( )
A.n?5 B. n?4 C. n?3 D. n?2
1
6．已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何
体的体积是( ).
A. 8cm3 B. 12cm3 C. 24cm3 D. 72cm3 ?7．??1?x??的展开式中含x的正整数指数幂的项数共有( )
x?10A.6 B.4 C.2 D.0
8.定义空间两个向量的一种运算a?b?a?bsin?a,b?，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①a?b?b?a，②?(a?b)?(?a)?b，③(a?b)?c?(a?c)(b?c)， ④若a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1y2?x2y1；恒成立的个数有 A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）
9．不等式3?|5?2x|?9的解集是 ▲ . 10．等比数列{an}中，a1?a2?20,a3?a4?40，则a5?a6等于 ▲ 11．函数f(x)?13x?2x?3x?2在区间[0,2]上最大值为 ▲
3212．圆心在直线x?2y?7?0上的圆C与x轴交于两点A(?2,0)、B(?4,0)，则圆C的方程为 ▲ .
13．某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 ▲ 方差为 ▲
2
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系??,??（??0,0???与??2cos?的交点的极坐标为 ▲
15.（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,BD?4，则CD? ▲ .
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知向量a?(Asinf(2?)?2.
x3,Acosx3)，b?(cos?2）中，曲线??2sin??6，sin?6),函数f(x)?a?b(A?0,x?R)，且
（1）求函数y?f(x)的表达式；
?216（2）设?,??[0,]， f(3???)?5??20?,f?3??；求cos(???)的值 ???52?13?
17.（本小题满分13分）
?如图4，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90，PA垂
直于底面ABCD，PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。
(1)求证：PB?DM；
(2)求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值； (3)求点B到平面PAC的距离.
3
图4
18. （本题满分13分）
2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，65??65，70?[70,75),[75,80),[80,85), 将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：?60，[85,90)，得到如图5的频率分布直方图．问：
（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在[65,70)的车辆数?的分布列及其均值（即数学期望）．
19.（本小题满分14分）
某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克。若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n?1)千元时多卖出卖出产品数量为Sn千克。
（1）求S1,S2； （2）求Sn；
（3）当a=50, b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
20. （本小题满分14分）
2222已知两圆C1:x?y?2x?0,C2:(x?1)?y?4的圆心分别为C1,C2，P为一个
b2n千克，（n?N?）。记广告费为n千元时，
动点，且|PC1|?|PC2|?22. （1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得
|C1C|?|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
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21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?(ax2?x)ex，其中e是自然对数的底数，a?R． （1）当a?0时，解不等式f(x)?0；
（2）当a?0时，求整数t的所有值，使方程f(x)?x?2在[t,t?1]上有解； （3）若f(x)在[?1,1]上是单调增函数，求a的取值范围．
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