Hermite矩阵与反Hermite矩阵
摘 要
Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.
关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.
Abstract
The Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.
Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix
目 录
一、引言 ································································································· (01) 二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 ··························· (01) 三、Hermite矩阵的性质定理
（一）Hermite矩阵的性质 ··································································(02) （二）Hermite矩阵的定理 ··································································(02) （三）Hermite矩阵的正定性 ······························································(05)
四、反Hermite矩阵的性质定理
（一）反Hermite矩阵的性质 ·····························································(14) （二）反Hermite矩阵的定理 ·····························································(15)
五、结论 ································································································· (20) 参考文献 ················································································· (21) 致谢 ························································································· (22)
Hermite矩阵与反Hermite矩阵
一、引言
众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.
作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite矩阵正定性几个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.
二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义
定义 1 设A是一个n阶复矩阵，即A?Cn′n，AH为A的共轭转置，AH=A， 则将称A为Hermite 矩阵.若A=-AH，则称之为反Hermite矩阵.
定义 2 设A是一个n阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n维复向量X，均有XHAX>0，则称A为Hermite 正定矩阵.
定义 3 设A是一个n阶复矩阵，AH为A的共轭转置，若AAH=AHA，则称A为正规矩阵.
定义 4 设A是一个n阶复矩阵，AH为A的共轭转置，AHA=AAH=E，
1
则将称A为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.
三、Hermite矩阵的性质定理
（一）Hermite矩阵的性质
由Hermite矩阵的定义可知，Hermite矩阵具有如下简单的性质
[1][2]：
（1）对所有A?Cn′n，则A+AH，AAH和AHA都是Hermite矩阵； （2）如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵； （3）如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；
（4）如果A，B是Hermite矩阵，则对实数k，p，kA+pB也是Hermite矩阵；
（5）如果A，B是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是
AB=BA；
（6）A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n阶方阵S，SHAS是Hermite矩阵.
（二）Hermite矩阵的定理
定理3-1 若A是n阶复矩阵，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意X?Cn，XHAX是实数；
证明 必要性 因为XHAX是数，所以
(XHAX)=(XHAX)H=XHAHX=XHAX
因此XHAX是实数.
充分性 因为对于任意X，Y?Cn，XHAX,YHAY，(X+Y)HA(X+Y)都是实数，而
(X+Y)HA(X+Y)=(XH+YH)A(X+Y)=XHAX+XHAY+YHAX+YHAY 于是对任意X，Y?Cn，XHAY+YHAX是实数，令
2
TTY=(0,?,0,1,0,?,0)X=(0,?,0,1,0,?,0)， ??????jk则XHAY+YHAX=ajk+akj是实数，这表明ajk与akj的虚部值相等，但符号相反，即
Im(ajk)=-Im(akj)
再令
TTY=(0,?,0,1,0,?,0)X=(0,?,0,i,0,?,0)， ??????jk其中i=-1，XHAY+YHAX=-iajk+iakj是实数，则ajk与akj的实部相等，即
Re(ajk)=Re(akj)
因此
ajk=akj，j,k=1,2,3,?,n
即A是Hermite矩阵.
定理3-2[4]（Hermite矩阵的谱定理） 设A?Cn′n是给定的，则A是Hermite矩阵当且仅当存在一个酉矩阵U?Cn′n和一个实对角矩阵L Cn′n，使得
UHAU=L=diag(l1,l2,?,ln)，其中l1,l2,?,ln均为实数，此外，A是实Hermite
矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵P?Cn′n和一个实对角矩阵
L Cn′n，使得PHAP=L=diag(l1,l2,?,ln)，其中l1,l2,?,ln均为实数.
虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite矩阵，例如，如果A是Hermite矩阵，那么，只有当A=0时iA才是Hermite矩阵.另外，如果A和B是Hermite矩阵，那(AB)H=BHAH=BA，因此，AB是Hermite矩阵，当且仅当A与B可交换.
定理3-3 设A为n阶Hermite矩阵，则 （ⅰ）A是正规矩阵且所有特征值全是实数；
（ⅱ）A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.
证明 （ⅰ）A为n阶Hermite矩阵，由定理3-2可知A必酉相似于实对角矩阵L，即存在n阶酉矩阵U，使得
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