UHAU=L
其中L=diag(l1,l2,?,ln)，li(i=1,2,?,n)是A的是特征值，且
AHA=A2=AAH
即A是正规矩阵.
设AH=A，l为A的特征值，非零向量a为l的特征向量，即
Aa=la，aHAa=laHa
又
aHAa=(AHa)a=(Aa)Ha=laHa
所以
laHa=laHa
即 l=l 所以l为实数.
（ⅱ）设l，m是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x，y，则
Ax=lx，Ay=my
从而
yHAx=lyHx，xHAy=mxHy
因为A是Hermite矩阵，l，m均为实数，则
yHAx=myHx
于是
(l-m)yHx=0
由于l1m，故x与y正交.
]定理3-4[5（Hermite矩阵的惯性定理） 设H是n阶Hermite矩阵，则H（复）
合同与
4
骣Ip??A=?????桫-Iq÷÷÷÷， ÷÷÷0÷而且p,q由H唯一确定.其中A称为H的规范型，In表示n阶单位矩阵，p,q，
p-q分别称为H的正惯性指数、负惯性指数和符号差.
注：由惯性定理导出的Hermite矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .
下面讨论一下Hermite矩阵的正定性.
（三）Hermite矩阵的正定性
在讨论Hermite矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR分解定理及其引理.
n′n矩阵UR分解定理 设A?Cn，则A可以唯一地分解为
A=UR或A=RU11
其中U，U1?Un′n，R是正线上三角阵，R1是正线下三角阵。（即R和R1的主对角线上元素全是正的）.
引理 若A是正线上三角阵，又是酉矩阵，则A是单位阵.
与实对称矩阵一样，同样我们可以利用Hermite二次型的正定，来定义Hermite矩阵的正定.
定义 由n个复变量x1,x2,?xn，系数为复数的二次齐式
f(x1,x2,?xn)=邋nnaijxixj
（3-1）
i=1j=1其中aij=aji，称为Hermite二次型.记
骣a11????a21A=????????an1桫a12a22?an2?a1n÷÷÷?a2n÷÷÷ ÷?÷÷÷÷?ann÷则A为Hermite矩阵.我们称矩阵A为Hermite二次型矩阵，并且称A的秩为
5
Hermite二次型的秩.于是，Hermite二次型（3-1）可改写成
f(x)=xHAx
其中x=(x1,x2,?xn)T，因此，一个Hermite二次型与一个Hermite矩阵相对应.如果对任一组不全为零的实数x1,x2,?xn，都有f(x1,x2,?xn)>0( 0)，则称该二次型齐式是正定的（非负定的），并称相对应的Hermite矩阵A是正定的（非负定的）.
正定（非负定）矩阵具有如下基本性质： （1）单位矩阵I>0；
（2）若A>0，数k>0，则kA>0； （3）若A>0，B>0，则A+B>0； （4）若A30，B30，则A+B 0.
显然这些基本性质可以由定义直接推导得出，下面我们给出Hermite矩阵A正定（半正定）的条件.
定理3-5 设A是n阶Hermite矩阵，f(x)=xHAx，则下列命题等价： （1）A是正定矩阵；
（2）对任意n阶可逆矩阵P，PHAP都是Hermite正定矩阵； （3）A的n个特征值均为正数；
（4）存在n阶可逆矩阵P，使得PHAP=I； （5）存在n阶可逆矩阵Q，使得A=QHQ；
（6）存在正线上三角矩阵R,使得A=RHR，且分解是唯一的； （7）存在n阶可逆Hermite矩阵S，使得A=S2. 证明 首先按(1)揶(2)(3)揶(4)(5)揶(6)(1)进行证明.
(1)T(2) 对任意n阶可逆矩阵P及任意y?Cn且y10，y令x=P，则x?Cn且x10
yH(PHAP)y=xHAx>0
6
故PHAP是Hermite正定矩阵；
(2)T(3) 对Hermite矩阵A，存在酋矩阵U使得
UHAU=diag(l1,l2,?,ln)
（3-2）
其中l1,l2,?,ln为A的特征值，由定理3-5（2）知diag(l1,l2,?,ln)是正定矩阵，则l1,l2,?,ln均为正数；
(3)T(4) 因为A的特征值l1,l2,?,ln均为正数，令
P1=diag(则
111,,?,) l1l2lnHHHP1UAUP1=P1diag(l1,l2,?,ln)P1=I
令P=UP1，代入上式得
PHAP=I，P是可逆矩阵.
(4)T(5) 因为存在n阶可逆矩阵P使得PHAP=I，则令Q=P-1,有
A=QHQ
(5)T(6) 因为A=QHQ，其中Q为可逆矩阵，根据矩阵UR 分解定理得到
Q=U1R，其中U1是酉矩阵，R是正线上三角阵，因此
A=QHQ=RHU1HU1R=RHR
现证分解的唯一性：设A有两种正线上三角分解，即
A=RHR=R1HR1
故
E=(RH)-1R1HR1R-1=(R1R-1)H(R1R-1)
容易验证R1R-1仍是上三角阵，又由上式知R1R-1是酉矩阵，根据引理可得
R1R-1=E，即R1=R.
7
(6)T(1) 因为A=RHR，所以
f(x)=xHAx=xHRHRx=(Rx)H(Rx)
由于R为正线上三角阵，故当x10时，Rx10，于是
f(x)=xHAx=(Rx)H(Rx)>0
此即f(x)是正定的.
下面证明(5)T(1)，(1)?(7)
(5)T(1) 因为存在n阶可逆矩阵Q,使得A=QHQ，则对任意x?Cn且x10都有Qx10，从而xHAx=(Qx)H(Qx)>0.故A是正定矩阵.
(1)T(7) 设l为A的任一特征值，x为相应的特征向量，则
Ax=lx
因为A是正定矩阵，所以lxHx=xHAx>0，从而l>0.因此A的特征值均为正数.由（3-2）得
A=Udiag(l1,l2,?,ln)UH
其中l1,l2,?,ln为A的正特征值.令
S=Udiag(l1,l2,?,ln)UH
则S是n阶可逆Hermite矩阵，并且A=S2.
(7)T(1) 因为存在n阶可逆Hermite矩阵S使得A=S2=SHS，类似于(5)T(1)即知A是正定矩阵.
定理3-6 设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价 （1）A是非负定矩阵；
（2）对于任何n阶可逆矩阵P，都有PHAP是Hermite非负定矩阵； （3）A的n个特征值均为非负数；
骣Ir（4）存在n阶可逆矩阵P，使得PHAP=???0桫0÷ ，其中r=rank(A)； ÷÷0 8