2014届高考冲刺卷（4）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，复数z?x2?1??x?1?i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．?1 B．1 C．?1 D．2 2.已知集合A?yy?3,x?0,B?xy?ln2x?x???x???2??.则AB?（ ）
A．?1,2? B．?1,??? C．?2,??? D．?1,??? 3．设a,b是平面?内两条不同的直线，l是平面?外的一条直线，则“l?a,且l?b” 是“l??”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若平面向量b与向量a??1,?2?的夹角为180，且b?35，则b=（ ）
A．?3,?6?
B．??3,6?
C．?8,?4?
D．??4,8?
5．已知函数f(x)?kx?1，其中实数k随机取自区间??2,1?，则对于?x???1,1?，都有
f(x)?0恒成立的概率为（ ）
A．
1235 B． C． D． 2356?y?x1?6.若实数x,y满足条件?x?y?0，则2x?()y的最小值是（ ）
4?y?1?111 B． C． D．1 8427．已知对于正项数列?an?满足am?n?am?an?m,n?N??，若a2?9，则
A．
log3a1?log3a2????????log3a12?（ ）
A． 40 B．66 C．78 D．156
8．现有4名学生参加某项测试，共有4道备选题目，若每位学生从中有放回地随机选出一道 题进行回答，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有（ ）
A. 288种 B．144种 C．72种 D．36种 9. 已知2?a?2，则函数f(x)?a2?x2?x?2的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.抛物线y?2px?p?0?的焦点为F，点A,B在此抛物线上，且?AFB?90，弦AB的
2中点M在其准线上的射影为点N，则A．MNAB的最大值为( )
23 B． C．2 D．3 22第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11．已知2?22?2?,33333?=3?,884?44=4?，??????， 1515若8?aa?8??a?0,t?0?，根据以上等式，可推测a,t的值， tt236则a?t? 。
12. ?1?x???1?x???1?x??????????1?x?展开式中含x2项的系数之和
为 。
13.?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
b? 。 a14. 执行右图所示的程序框图，则输出的S值为 。
且asinAsinB?bcosA?22a，则
15．选做题（请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
题评阅记分）
2（A）（不等式选讲）已知函数f(x)?x?5?x?1，存在实数x，使得f(x)??a?2a?4有
解，则实数a的取值范围为 。
（B）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C的方程是??4sin?，过点
????4,? 作曲线C的切线，则切线长为 。 ?6?（C）(几何证明选讲）如图，CD是圆O的切线，切点为C, 点B在
圆O上，BC?2,?BCD?30，则圆O的面积为 。 三．解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（本小题12分） 已知?ABC的面积为3，且满足23?AB?AC?6,设AB,AC的夹角是?。 （Ⅰ）求?的取值范围；（Ⅱ）求函数f(?)?2sin2?17. （本小题12分）
在数列{an}中,a1?1,且对任意的n?N?,都有an?1?2an?2n。
????????cos2?的最小值。 ?4?（Ⅰ）求证:数列{（ n?N?）。
an（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn?1?4an的值}是等差数列；
2n18．（本小题12分）
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是BC 边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N （Ⅰ）求二面角B1?AM?N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
19．（本小题12分）
为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统
计数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩游戏 40 20 不喜欢玩游戏 20 合计 （Ⅰ）请补充完成2?2列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？
（Ⅱ）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任
取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望。
n(ad?bc)2 附：K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2?k0) 0.05 0.025 0.010 20.005 7.879 0.001 10.828 k0
20 .（本小题13分）
3.841 5.024 6.635 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1,F2，短轴长为23。 点P在椭圆C上，且满足?PF1F2的周长为6. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点??1,0?的直线l与椭圆C相交于A,B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，
使得MA?MB恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由。 21．（本小题14分）
已知函数f(x)?lnx?ax?1。
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点A?1,f(1)?处的切线l与直线4x?3y?3?0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）若f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）证明：ln(n?1)?111?????????n?N??。 ?23n?12014届高考冲刺卷（4）
数学（理科）参考答案
一． 选择题:BACBB ACBDA
二.11. 71 12 . 35 13 . 2 14. ?3 15. A a??0,2? B 22 C 4? 2三.解答题 16. 解：（Ⅰ）设ABC角A,B,C的对边分别是a,b,c.
由
1????bcsin??3及23?bccos??6得1?tan??3,????,? 2?43? （Ⅱ）经化简f????1?2sin?2?????????5????????,,?2????,? ???4?434???412? 又y?sinx在? 故：当???????5??,?上是增函数，当 2???即??
444?412?时，f?4???min?2.
an?1an1?n?. n?122217.（Ⅰ）证明：
an?1?2an?2n ? 所以数列?a111?an?是以为首项，以为公差的等差数列。 ??n222?2?an11nn?1 所以 a?n?2??n?1?,??nn2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）知
又Sn?1?20?2?21?3?22?......?n?2n?1.○1 2 2Sn?1?21?2?22?3?23?......?n?2n.○
由○2-○1可得Sn?n?2n?1?2?22?......?2n?1??n?1??2n?1. 故Sn?1?4an?n?2n?1?1?4n?2n?1?1.
18. 解：（Ⅰ）如图，以点M为坐标原点，MA为x轴，MC为y轴，MC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。则M?0,0,0?
??1??3???12?B0,?,1NA?,0,0,,????0,,? ?2?2???23????3?1???12?,,MB?0,?,1MN??MA??,0,0?1???0,,? ?2?2???23???设面AMN的法向量为n1??x1,y1,z1?，计算得n1??0,?4,3?
设面AMB1的法向量为n2??x2,y2,z2?，计算得n2??0,2,1? 设2?B1?AM?N 的平面角为?，则???0,所以cos??n1?n2n1?n2??4?2?1?35?5?5 5????? 2?故：二面角?B1?AM?N的平面角的余弦值为（II）由（Ⅰ）及距离公式可知：
5。 5?1??????4??1?3MB1?n1??2???1 点B1到平面AMN的距离为：d?5n119. （1）统计数据如下表： 认为作业多 喜欢玩游戏 40 不喜欢玩游戏 20 合计 60 认为作业不多 20 30 50 2合计 60 50 110 110?40?30?20?20?2将表中的数据代入公式，可求得K??7.822?6.635.
60?50?60?50查表PK2?6.635?0.010.?有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。 （2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名。
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2,3,4.
31422C4C28C41C4C22?,PX?3??,PX?4??. 其中 P?X?2??????4C65C6415C6415?? 所以X的分布列为 X P 2 3 4 81 15156818故X的数学期望为E?X??2??3??4??
151515348另解：XH?4,4,6?，则E?X??4??
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