图3－138 图3－139
63．如图3－139所示，一带电量为ｑ液滴在一足够大的相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动．已知电场强度为Ｅ，方向竖直向下，磁感强度为Ｂ，方向如图．若此液滴在垂直于磁场的平面内做半径为Ｒ的圆周运动（空气浮力和阻力忽略不计）． ?（1）液滴的速度大小如何？绕行方向如何？
?（2）若液滴运行到轨道最低点Ａ时，分裂成两个大小相同的液滴，其中一个液滴分裂后仍在原平面内做半径为Ｒ1＝3Ｒ的圆周运动，绕行方向不变，且此圆周最低点也是Ａ，问另一液滴将如何运动？并在图中作出其运动轨迹．
?（3）若在Ａ点水平面以下的磁感强度大小变为Ｂ′，方向不变，则要使两液滴再次相碰，Ｂ′与Ｂ之间应满足什么条件？
参考解答 1．解：电容器两端电压 ＵＣ＝Ｑ／Ｃ＝6Ｖ，Ｒ４／Ｒ５＝Ｕ４／（－Ｕ４）， ?∴Ｕ４＝8Ｖ．
?若 Ｕ１＝6＋8＝14Ｖ，则有
?Ｕ１／（－Ｕ１）＝Ｒ１／Ｒ２，∴Ｒ２＝7．14Ω． ?若Ｕ′１＝8－6＝2Ｖ，则有
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?Ｕ′／（－Ｕ′１）＝Ｒ１／Ｒ２，∴Ｒ２＝110Ω． ?
2．解：（1）接通1后，电阻Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３、Ｒ４串联，有 ?Ｉ＝／（Ｒ１＋Ｒ２＋Ｒ３＋Ｒ４）＝0．1Ａ． ?电容器两端电压
?ＵＣ＝Ｕ３＋Ｕ４＝Ｉ（Ｒ３＋Ｒ４）＝4Ｖ． ?电容器带电量 Ｑ＝ＣＵＣ＝1．2×10－３Ｃ．
?（2）开关再接通2，电容器放电，外电路分为Ｒ１、Ｒ２和Ｒ３、Ｒ４两个支路，通过两支路的电量分别为Ｉ１ｔ和Ｉ２ｔ，Ｉ＝Ｉ１＋Ｉ２；Ｉ１与Ｉ２的分配与两支路电阻成反比，通过两支路的电量Ｑ则与电流成正比，故流经两支路的电量Ｑ12和Ｑ34与两支路的电阻成反比，即
?Ｑ12／Ｑ34＝（Ｒ３＋Ｒ４）／（Ｒ１＋Ｒ２）＝40／20＝2， ?Ｑ12＋Ｑ34＝Ｑ＝1．2×10－3Ｃ， 所以 Ｑ12＝2Ｑ／3＝0．8×10－3Ｃ． ?
3．解：（1）对物体，根据动能定理，有 ?ｑＥＬ１＝（1／2）ｍｖ１2，得 ｖ１＝2qEL1． m ?（2）物体与滑板碰撞前后动量守恒，设物体第一次与滑板碰后的速度为ｖ１′；滑板的速度为ｖ，则
?ｍｖ１＝ｍｖ１′＋4ｍｖ．
?若ｖ１′＝（3／5）ｖ１，则ｖ＝ｖ１／10，因为ｖ１′＞ｖ，不符合实际，故应取ｖ１′＝－（3／5）ｖ１，则ｖ＝（2／5）ｖ１＝（2／5）
2qEL1． m
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?在物体第一次与Ａ壁碰后到第二次与Ａ壁碰前，物体做匀变速运动，滑板做匀速运动，在这段时间内，两者相对于水平面的位移相同． ?∴（ｖ２＋ｖ１′）／2ｔ＝ｖ·ｔ， ?即 ｖ２＝（7／5）ｖ１＝（7／5） ?（3）电场力做功
?Ｗ＝（1／2）ｍｖ１２＋（（1／2）ｍｖ２２－（1／2）ｍｖ１′２）＝（13／5）ｑＥＬ
１．
2qEL1． m ?
4．带电粒子经电压Ｕ加速后速度达到ｖ，由动能定理，得ｑｕ＝（1／2）ｍｖ２． ?带电粒子以速度ｖ垂直射入匀强磁场Ｂ中，要受到洛伦兹力ｆ的作用， ∵ ｆ⊥ｖ，ｆ⊥Ｂ，
∴ 带电粒子在垂直磁场方向的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力ｆ就是使带电粒子做匀速圆周运动的向心力，洛伦兹力为ｆ＝ｑｖＢ，根据牛顿第二定律，有 ｆ＝ｍｖ２／Ｒ，式中Ｒ为圆半径．
带电粒子做匀速圆周运动的周期Ｔ为Ｔ＝2πＲ／ｖ＝2πｍ／ｑＢ，
?在一个周期的时间内通过轨道某个截面的电量为ｑ，则形成环形电流的电流强度Ｉ＝Ｑ／ｔ＝ｑ／Ｔ＝ｑ２Ｂ／2πｍ． ?
5．（1）稳定时球内电子不做定向运动，其洛伦兹力与电场力相平衡，有Ｂｅｖ＝Ｅｅ， ∴ Ｅ＝Ｂｖ，方向竖直向下．
?（2）球的最低点与最高点之间的电势差最大
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?Ｕｍａｘ＝Ｅｄ＝Ｅ×2ｒ＝2Ｂｖｒ． ?
6．解：（1）对Ｂ物体：ｆＢ＋Ｎ＝ｍｇ， ?当Ｂ速度最大时，有Ｎ＝0，
?即 ｖｍａｘ＝ｍｇ／Ｂｑ＝10ｍ／ｓ．
?（2）Ａ、Ｂ系统动量守：Ｍｖ０＝Ｍｖ＋ｍｖｍａｘ， ∴ ｖ＝13．5ｍ／ｓ，即为Ａ的最小速度．
?（3）Ｑ＝ΔＥ＝（1／2）Ｍｖ０２－（1／2）Ｍｖ２－（1／2）ｍｖｍａｘ２＝8．75Ｊ． ?
7．解：设小球带电荷量为ｑ，电场的电场强度为Ｅ，弹簧的劲度系数为ｋ． ?在小球处于平衡位置时，弹簧伸长量为ｘ０． ?ｋｘ０＝ｑＥ． ①
?当小球向右移动ｘ，弹簧总伸长为ｘ０＋ｘ，以向右为正，小球所受合外力 ?Ｆ合＝ｑＥ－ｋ（ｘ０＋ｘ）， ② ?解①、②得 Ｆ合＝－ｋｘ．
?由此可知：小球离开平衡位置，所受到合外力总指向平衡位置，与相对于平衡位置的位移成正比，所以小球所做的运动为简谐运动． ?
8．解：（1）电场方向向下，与磁场构成粒子速度选择器，离子运动不偏转，则ｑＥ＝ｑＢｖ，
?ｖ＝Ｅ／Ｂ＝2×10７ｍ／ｓ．
?（2）撤去电场，离子在磁场中做匀速圆周运动，所需向心力为洛伦兹力，于是
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?ｑＢｖ＝ｍｖ２／Ｒ，Ｒ＝ｍｖ／ｑＢ＝0．4ｍ．
?离子离开磁场区边界时，偏转角ｓｉｎθ＝Ｌ／Ｒ＝1／2，即θ＝30°．如图17甲所示． ?偏离距离ｙ１＝Ｒ－Ｒｓｉｎθ＝0．05ｍ．
?离开磁场后离子做匀速直线运动，总的偏离距离为ｙ＝ｙ１＋Ｄｔｇθ＝0．28ｍ． ?若撤去磁场，离子在电场中做匀变速曲线运动， ?通过电场的时间ｔ＝Ｌ／ｖ，加速度 ａ＝ｑＥ／ｍ
?偏转角为θ′如图17乙所示，则ｔｇθ′＝ｖｙ／ｖ＝（ｑＥＬ／ｍｖ２）·（1／2），
图17
?偏离距离为ｙ２′＝（1／2）ａｔ２＝0．05ｍ． ?离开电场后离子做匀速直线运动，总的偏离距离? ｙ′＝ｙ２′＋Ｄｔｇθ′＝0．25ｍ， ?ａ、ｂ间的距离 ?
＝0．53ｍ．
9．解：（1）设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为ｒ，周期为Ｔ． ?Ｔ＝2πｍ／Ｂｑ＝（π／2）×10－３ｓ，ｔ恰为半个周期． ?磁场改变一次方向，ｔ时间内粒子运动半个圆周． ?由ｑＵ＝（1／2）ｍｖ２和ｒ＝ｍｖ／Ｂｑ， ?解得ｒ＝0．5ｍ，可见ｓ＝6ｒ．
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