与第2题所得到的两个班的平均数都不相同，这是因为由组距数列计算时，用组中值代替组平均数，假定组内变量值均匀分布或对称分布，与实际分布情况有出入，所以计算结果是近似值。方差和标准差也与第2~3题所得到的计算结果不相同，这主要是因为由组距数列计算时，用组中值代替组内各变量值，忽略了组内差异，只考虑了组间差异；此外第2题利用EXCEL的“描述统计”得到的方差、标准差是样本统计量，与总体方差、标准差的计算公式有差异。
5.某商贸公司从产地收购一批水果，分等级的收购价格和收购金额如下表，试求这批水果的平均收购价格。
收购单价 水果等级 甲 乙 丙 合计 k（元/千克） 2.00 1.60 1.30 —— 收购额（元） 12700 16640 8320 37660 (Xifi)收购总额i?12700?16640?8320?1???1.6268（元）解： X? k(Xf)12700166408320收购总量ii???2.001.601.30i?1Xi6.某中学校正在准备给一年级新生定制校服。男生校服分小号、中号和大号三种规格，分别适合于身高在160 cm以下、160～168cm之间和168cm以上的男生。已知一年级新生中有1200名男生，估计他们身高的平均数为164cm，标准差为4cm。试由此粗略估算三种规格男生校服应该分别准备多少套（按每人1套计算）？
解：身高分布通常为钟形分布，按经验法则近似估计结果如下：
规格 小号 中号 大号 合计 身高 160以下 160-168 168以上 —— 分布范围 均值±1*标准差 —— 比重 数量（套） 0.1585 190.2≈190 0.6830 819.6≈820 0.1585 190.2≈190 1.0000 1200
7.平均数和方差一般只能对数值型变量进行计算。但若将是非变量（也称为是非标志）的两种情况分别用1和0来表示，则对是非变量也可以计算其平均数和对应的方差、标准差。试写出有关计算公式。
解：用1代表“是”(即具有某种特征)，0代表“非”（即不具有某种特征）。设总次数为N，1出现次数为N1，频率（N1/N）记为P。由加权公式来不难得出：是非变量的均值=P；方差=P(1-P)；标准差=P(1?P)。
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第四章
一、判断分析题
1.设A，B，C表示三个随机事件，将下列事件用A，B，C表示出来。 （1）A出现，B，C不出现； （2）A，B都出现，而C不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少一个出现； （5）三个事件中至少二个出现； （6）三个事件都不出现； （7）恰有一个事件出现。
答：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A?B?C；（5）AB?BC?CA；（6）ABC；（7）ABC?ABC?ABC
2.以E表示随机试验，以?表示E的基本事件空间。试描绘下列随机试验的基本事件空间和所列事件中所包含的基本事件。（1）E：对同一目标接连进行三次射击，并观察是否命中；考虑事件：A={三次射击恰好命中一次}，B={三次射击最多命中一次}。（2）E：同时掷两个骰子观察点数和；考虑事件：A={点数之和为奇数}。
答：（1）针对随机试验：对同一目标接连进行三次射击，观察是否命中 ①列举实验结果并写出基本事件空间
基本事件空间Ω
S={中，中，中} T={中，中，不中} U={中，不中，中} V={中，不中，不中} W={不中，中，中} X={不中，中，不中} Y={不中，不中，中} Z={不中，不中，不中} ②事件A：三次射击恰好命中一次
A??V?X?Y?
不中
不中
不中
中
不中
中
中
不中
不中 中
第一次射击 第二次射击 第三次射击
中
中
不中 中
③事件B：三次射击最多命中一次
B??V?X?Y?Z?
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（2）针对随机试验：同时掷两颗骰子，观察点数和 ①列举实验结果并写出基本事件空间
点 数 和 （基本事件空间） 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 第 二 颗 骰 子 点 数 j 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Sij 第 一 颗 骰 子 点 数 i ②事件A：点数和为奇数
A??S12?S14?S16?S21?S23?S25?S32?S34?S36?S41?S43?S45?S52?S54?S56?S61?S63?S65?
3.抽查4件产品，设A表示“至少有一件次品”，B表示“次品不少于两件”。问 A，
B各表示什么事件？
答：A表示没有次品；B表示次品不超过一件。
4.在图书馆按书号任选一本书，设A表示“选的是数学书”， B表示“选的是中文版”，
C表示“选的是1990年以后出版的”。问：
（1）ABC表示什么事件？ （2）C?B表示什么意思？
（3）若A=B，是否意味着馆中所有数学书都不是中文版的？ 答：
（1）ABC表示选的是1990年以前出版的中文版数学书； （2）C?B表示馆中1990年以前出版的书都是中文版的； （3）是。 二、计算题
1.向三个相邻的军火库掷一个炸弹。三个军火库之间有明显界限，一个炸弹不会同时炸中两个或两个以上的军火库，但一个军火库爆炸必然连锁引起另外两个军火库爆炸。若投中第一军火库的概率是0.025，投中第二军火库以及投中第三军火库的概率都是0.1。求军火库发生爆炸的概率。
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解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第一军火库、第二军火库、第三军火库这三个事件。于是，P（A）=0.025 P（B）=0.1 P（C）=0.1 又以D表示军火库爆炸这一事件，则有，D=A+B+C 其中A、B、C是互不相容事件（一个炸弹不会同时炸中两个或两个以上军火库）
∴P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025 + 0.1+ 0.1=0.225
2.某厂产品中有4%的废品，100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。
解：①事件的记号和关系
以A表示一等品，B表示合格品，C表示废品。于是有
B?C A?B,从而A?AB
P(B)?P(C)?1?P(C)=1-4%=96%
③计算
P(AB)?75100
9675??0.72100100②应用何种公式及理由
由A?AB知，所求之P(A)可以通过P(AB)得到。而P(AB)应当用乘法公式计算。
P(A)?P(AB)?P(B)P(AB)?
3.某种动物由出生能活到20岁的概率是0.8，由出生能活到25岁的概率是0.4。问现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为何？
解：设A表示这种动物活到20岁、B表示这种动物活到25岁。
∵B?A ∴B=AB ∴P（B|A）=
4.在记有1，2，3，4，5五个数字的卡片上，第一次任取一个且不放回，第二次再在余下的四个数字中任取一个。求： （1）第一次取到奇数卡片的概率： （2）第二次取到奇数卡片的概率； （3）两次都取到奇数卡片的概率。
解：以A表示第一次取到奇数卡片，B表示第二次取到奇数卡片。 （1）由古典概型，显然有
P(A)?3 5P（AB）P（B）0.4===0.5
P（A）P（A）0.8（2）{第二次取到奇数卡片}是{第一次取到奇数卡片且第二次取到奇数卡片}与{第一次
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未取到奇数卡片但第二次取到奇数卡片}这两个事件的和事件。即B?AB?AB，并且显然AB和AB不相容。应用不相容事件的加法公式，再应用乘法公式，有
32233 P(B)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?????
54545（3）两次都取到奇数卡片，也就是A、B都发生。由乘法公式，有
323P(AB)?P(A)P(BA)???5410
5.两台车床加工同样的零件。第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任意取出的零件是合格品的概率。
解：设 B1={第一台车床的产品}；B2={第二台车床的产品}；A={合格品}。
则 P（B1）=
21 P（B2）= P（A|B1）=1-0.03=0.97 P（A|B2）=1-0.02=0.98 33由全概率公式得：
P（A）= P（B1）* P（A|B1）+ P（B2）* P（A|B2）=
21*0.97+*0.98=0.973 336. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球，乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球。问取得白球的概率是多少？
解：
①事件的记号和关系
从甲袋中任取一球放入乙袋，以A表示所取为白球，以A表示所取为黑球；然后从乙袋中任取一球，以B表示所取为白球。于是有
P(A)?2，3
P(A)?13P(BA)?21 P(BA)?44
②应用何种公式及理由
由于P(A)+P(A)=1，并且P(BA)和P(BA)已知，因而可以用全概率公式计算P(B)。 ③计算
P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?22115???? 343412
7. 在第5题中，如果任意取出的零件是废品，求它属于第二台车床所加工零件的概率。 解：设 B1={第一台车床的产品}；B2={第二台车床的产品}；A={废品}。
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