2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 2009 年 9 月 14 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排
摘要
眼科病床安排问题是一个重要的问题，如果病床安排得不合理，不仅医院资源不能得到有效利用，而且会给病人造成一定得损失，也影响医院的发展。建立合理的病床安排模型不仅能使医院资源得到有效分配，还能为病人带来方便。
首先，为确定病床安排模型的优劣，我们要建立一个合理的评价指标体系。从总成本和效率两方面进行综合考虑，建立模型一评价指标模型。第一个综合指标总成本包括病人在排队系统中等待的损失和医院服务成本，即总成本Qi?axi?byi；第二个综合指标是用“归一分析法”来分析床位利用效率，其中：
床位效率指数?期内床位实际周转次数期内床位标准周转次数?床位使用率
然后采用模型一的这些指标对该问题的病床安排模型的优劣进行综合评价，得出结论是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院使总成本不断在大幅度增加，床位一直处于低效率运行状态。
其次，针对问题中等待住院的病人队列越来越长，并考虑不同病人的病情情况不同，建立抢占型优先权排队模型，来合理安排病床，从而提高对医院资源的有效利用。模型中根据不同病症的病情、手术时间安排和术后观察时间长度等不同因素，把四类患者从高到低分为急症、双眼白内障、单眼白内障、青光眼与视网膜疾病四个优先等级考虑。优先权等级高的病人优先对其安排床位，优先权等级低的病人在优先权等级高的病人安排好之后对其进行安排；同优先权等级的病人服从FCFS排队规则。根据该住院部当前已知的情况拟出院病人数，用C语言编程求得病人安排住院方案一。用评价指标模型中的指标体系对模型二进行评价，可知，该模型床位效率指数较高，总成本较低，明显比FCFS模型要好，并且可从病人安排住院方案一中看出患者的大概入院时间和大约住院时长。
再次，当该住院部周六、周日不安排手术时，需避免各类病人入院后等待手术时间过长，尽可能缩短住院时间，则对各类病症的入院时间有了一个限制，如周五和周六不宜安排急症患者住院，青光眼和视网膜疾病患者不宜安排在周四和周五入院。综合考虑这些限制因素，在模型二的基础上建立考虑特殊情况的抢占型优先权排队模型，而医院的手术时间安排并不用作出相应调整。本模型针对周六和周日是否做手术用C程序设计进行实现，得到病人安排住院方案二。
最后，从为了使医院便于管理的角度出发，对医院病床安排可采取按照各类病人占用病床的比例进行分类排队的方案。鉴于单眼白内障和双眼白内障病人所需住院时间不一样，把病人再细分为外伤、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病五类。为了使得所有病人在系统内的平均逗留时间T最短，我们以T做为目标函数，建立线性规划模型，用LINGO得到各类病人占用病床的比例x1:x2:x3:x4:x5进行分配床数，根据这个床位占用比例建立分类排队模型，每一类病症做为一个独立的排队模型，按照FCFS的规则进行排队安排服务，用MATLAB求解得到病人安排住院方案三。
关键词： 归一分析法 抢占型优先权排队模型 线性规划 分类排队
1
一 问题重述
某医院眼科门诊每天开放，共有79个病床床位，眼科手术有：外伤，视网膜疾病，白内障和青光眼四种。外伤属急症，就诊时只要有空床就安排住院，第二天安排手术。白内障手术前准备一到两天，手术安排在周一和周三，如果是双眼，周一做第一只，周三做第二只。另外两种病手术前准备两到三天，考虑到医生资源，不安排在周一和周三。对于外伤也可安排在周一周三。
目前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，我们需要通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。我们还需要解决以下问题：
一、分析确定合理的评价指标体系，评价用FCFS（First come, First serve）规则的病床安排模型的优劣。
二、就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，根据拟出的模型确定第二天应该安排哪些病人住院。并用评价体系评价我们建立的模型。
三、运用模型在病人门诊时，就告知其住院的时间区间。
四、该住院部周六、周日不安排手术，重新考虑问题二，并对医院的手术时间做出相应调整。
五、医院为了便于管理，病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二 问题分析
病床安排问题是一个复杂的问题。从题目中所给表格得出，每天都有7到12个病号就诊，平均每天出院的人数为3到4人，如果按FCFS（First come, First serve）规则的病床安排模型，就会造成等待入院人数越来越多，给病人入院治病带来不便。
第一步：分析确定病床安排模型的评价标准体系。
一方面，病人入院前等待入院的患者越多，每位病人的平均等待时间越长，给病人带来的损失越大；病人入院到出院时间消耗过长，造成医院资源不能有效周转和利用。对每一天这两部分的消耗求和，作为一个评价体系。控制这两部分的和在一个范围内，若超出此范围则说明模型有待改进。于是，病人等待入院造成的损失和病人住院费用两部分花销作为评价体系中的一个指标。
另一方面，医院床位的利用情况是反映医院床位利用床位的重要指标，它主要包括床位周转次数和床位使用率，这两个指标从不同情况反映病床利用情况，如果单一的从两项指标分析床位的工作效率，就很难看出病床运转和使用过程中存在的问题。“归一分析法”就是将病床使用率和病床周转次数综合起来，建立床位工作效率指数模型。因此床位工作效率指数是一个能较好反映床位工作情况的综合指标，故选用此方法作为评价体系中的另一个指标。
第二步：通过数学建模来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用，并解决问题二和问题三。
根据患者病情情况不同，可以把四类患者分为急症、单眼白内障、双眼白内障、青光眼与视网膜疾病四级类型考虑，优先级类型用m(m=1,2,3,4)标记。考虑到病床安排系统为抢占型优先权服务机制下多类排队网络，由79张病床服务组成，每个病床服务有一个无限容量的等待缓存。考虑采用用排队论知识建立抢占型优先权排队模型。设同级
2
类型的病种有相同的优先权等级，以满足外伤、白内障的优先条件，设服务机制是抢占型恢复的，即当一个病患进入该系统时，如果该病患优先权等级比已经被安排床位的患者病种优先权等级高时，那个已经被安排床位但还没入院的病种将被终止服务直到比它优先权高的工作完成服务后，它才恢复未完成的服务。最后，我们设我们的策略是非空闲的，即所有病床都一直在进行接受安排工作。
第三步：通过对模型二进行改进，解决问题四。问题四考虑周六和周日不安排手术，是对模型二中的一个特殊条件限制，在编程中加入条件限制语句，得出满足此条件的床位分配结果。
第四步：建立模型解决问题五。建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型，运用线性规划模型解决此问题，并求解病床分配比例，医院在分配床时按照此模型求解的分配比例，就可以使满足平均逗留时间最短。然后用分层排队论模型求解出床位安排结果。
三 模型假设
1. 假设住院期间不随意调动病人的安置情况。
2. 假设病患住院时间等于术后观察时间的平均值与术前准备时间之和。 3. 假设将所有外伤都视为急症是合理的。
4. 假设采用优先权排队规则时，等待住院的患者都接受医院的住院时间调动。 5. 假设在出现的等待时间内病人的情况不会变得异常严重。 6. 假设所给数据基本可靠，有实际意义。
7． 假设平均逗留时间（含等待入院及住院时间）与就诊病症的评均出现比例的关系在
一定时间内不变。
8. 假设医院每天有条件做足够多数量的手术。
四 符号说明
1. C为医院总床位数 2. ?为患者平均到达率
3. ?为每个服务台的平均服务率
4. r为平均到达间隔，也就是平均到达率的倒数 5. Wq为患者在系统中的平均等待时间 6. 7. 8. 9. 10.
W为患者在系统中的平均逗留时间
为忙期的平均长度 I为闲期的平均长度
L为平均队长（系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者) Lq平均队列长（不考虑接受服务的患者, 排队等候的患者数称为队列长）
B11. Qi为第i天总成本，即为每位住院者入院前等待损失成本与住院医院的床位服务成本的总花销
12. a为每位患者就诊等待入院时每天损失成本系数 13. b为每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数 14. Pn为C个服务台在任意时刻有n个患者的概率 15. P0为C个服务台在任意时刻有0个患者的概率
3